1.4.1 充分条件与必要条件 课件-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

1.4.1 充分条件与必要条件 PART 1 命题 命题的定义：用语言、符号或式子表达的可以 _________的___________ 判断真假 陈述句 命题的分类： 真命题： 假命题： 判断为真的命题 判断为假的命题 命题的形式： 若 p，则 q p称为命题的条件，q称为命题的结论 PART 2 充分条件与必要条件 定义：如果“若p,则q”为真命题，我们就说 由p可以推出q，记作 并且p是q的充分条件，q是p的必要条件。 “p⇒q”的几种不同说法： (1)“如果p,那么q”为真命题. (2)p是q的充分条件. (3)q是p的必要条件. (4)p的必要条件是q. (5)q的充分条件是p. PART 2 充分条件与必要条件 定义：如果“若p,则q”为真命题，我们就说 由p可以推出q，记作 并且p是q的充分条件，q是p的必要条件。 如果“若p,则q”为假命题，那么由p不能推出q，记作p⇏q。我们就说p不是q的充分条件，q不是p的必要条件。 例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？ （1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直； （4）若 ，则x＝1； （5）若a＝b，则ac＝bc； （6）若x，y为无理数，则xy为无理数． 若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形 思考：1.充分条件唯一吗？ 2.若不唯一，请再给出几个不同的充分条件。 3.你能给出“两个三角形全等”的充分条件吗？ 4.你发现了什么？ 思考：1.必要条件唯一吗？ 2.若不唯一，你可以给出其他必要条件吗？ 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个必要条件. p：x > 1 q：x > 3 p ⇏q q p p 是 q 的不充分条件 q 是 p 的不必要条件 q 是 p 的充分条件 p 是 q 的必要条件 p 是 q 的必要不充分条件 q 是 p 的充分不必要条件 小范围 大范围 ⇏ = 从集合的角度理解 p：x∈A，q：x∈B (1)若A⊆B，则p是q的充分条件 若A⫋B，则p是q的充分不必要条件 (2)若B⊆A，则p是q的必要条件 若B⫋A，则p是q的必要不充分条件 能力探究 例1（1） 下列“若 ，则 ”形式的命题中， 是 的充分条件的有____.（填序号） ①若 ，则 ； ②若四边形是平行四边形，则四边形是正方形； ③若两个角是对顶角，则这两个角相等； ④若 ，则 . ③ 12 迁移应用2 已知 ， ，则 是 的 ______ 条件.（用“充 分”或“必要”填空） 必要 [解析] 令 , ， 则 , ， 可用数轴表示为 易知 ,故 是 的必要条件. 13 能力探究 例2 已知集合 ，非空集合 ，其中 .若 的一个充分条件是 ，则 的取值范围是________________. <m></m> [解析] 由题意得 ， 则 所以 . 14 情景一： 观察下列的4个例子： (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分别相等，则这两个三角形全等； (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； (3)若一元二次方程有两个不相等的实数根，则； (4)若是空集，则与均是空集. 问题1 “若,则”形式的命题改写成逆命题“若,则”；并判断哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ 概念1： 如果“若,则”和它的逆命题“若,则”均是真命题， 即既有，又有， 就记作. 此时，既是的充分条件，也是的必要条件，我们就说是的充分必要条件，简称为充要条件. 显然，如果是的充要条件，那么也是的充要条件. 能力探究 例2 （2023宁夏银川二十四中高一阶段练习）在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，求证： 的充要条件是 . 证明 充分性：若 ，则 ， 成立. 必要性： 成立， 且 ， ， 又在 中， ， ， ， . 综上， 的充要条件是 . 17 迁移应用2 已知命题 ，命题 .求证： 是 成立的充要条件. 证明 设 ， . 充分性：若 ，则 ，所以由命题 可得出命题 ，故充分性成立. 必要性：若命题 可得出命题 ，则 ， 所以 ，故必要性成立. 综上， 是 成立的充要条件. 18 能力探究 例3 （2023江苏淮安一中高一月考）已知条件