专题15.1 轴对称图形与等腰三角形（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册全章复习与专题突破讲与练（沪科版）

专题15.1 轴对称图形与等腰三角形（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】轴对称图形与轴对称 1、轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形.这条直线叫做对称轴。(说明：轴对称图形的对称轴可以是一条，可能是多条或无数条.) 2、轴对称：如果一个图形沿着一条直线折叠，它能够与另一个图形重合，那么称这两个图形成轴对称。 这条直线叫做对称轴.折叠后重合的点叫做对称点。 3、轴对称性质： （1）如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴垂直平分任意一对对应点的所连线段。 （2）如果两个图形各对对应点的所连线段被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称。 【知识点二】线段的垂直平分线 1、定义：经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线。 2、性质：线段垂直平分线上的点与线段两端距离相等。 3、判定:与线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 【知识点三】等腰三角形 1、定义:有两边相等的三角形叫做等腰三角形。 2、性质：（1）等腰三角形两个底角相等。简称“等边对等角”。 推论：等边三角形三个内角相等,每一个内角等于60°. （2）等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边. （等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高三线合一) 3、判定:如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边相等。简称“等角对等边"。 推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。 推论2:有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。 【知识点五】等边三角形 1、定义：三边都相等的三角形叫做等边三角形。 2、性质：等边三角形的三边相等；三个角都相等,每一个内角等于60°。 3、判定: （1）定义法：三边都相等的三角形是等边三角形； （2）三个角都相等的三角形是等边三角形。 （3)有一个角是60°的三角形是等边三角形. 【知识点六】角的平分线 1、性质：角平分线上任意一点到角的两边的距离相等。 2、判定:在一个角的内部，到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上。 【知识点七】直角三角形 1、定义:有一个角是90°的三角形叫做直角三角形。 2、性质： （1）边性质：两直角边的平方和等于斜边的平方.（勾股定理）；(2）角性质：两个锐角互余。 3、含30°角的直角三角形性质:在直角三角形中，如果一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半. 【考点目录】 【考点1】轴对称图形； 【考点2】线段垂直平分线； 【考点3】等腰三角形； 【考点4】等边三角形； 【考点5】角的平分线； 【考点一】轴对称图形； 【例1】（2023上·山东东营·七年级校考期末）如图，与关于直线对称，其中，，，． （1）线段与的关系是什么？ （2）求的度数； （3）求的周长 【答案】（1）垂直平分；（2）；（3） 【分析】本题考查了轴对称图形的性质，掌握关于某条直线对称的两个图形全等是解题的关键． （1）利用关于某条直线对称的两个图形的对称点的连线被对称轴垂直平分，得出答案即可； （2）利用关于某条直线对称的三角形全等可以得到对应角相等，得出答案即可； （3）利用关于某条直线对称的三角形全等，对应边相等，计算的周长即可． （1）解：∵与关于直线对称， ∴垂直平分； （2）解：∵与关于直线对称， ∴， ∴； （3）解：∵与关于直线对称， ∴， ∵， ∴， ∴的周长． 【举一反三】 【变式1】（2023上·广东惠州·七年级期末）如图①，在长方形中，点在上，且，分别以为折痕进行折叠并压平，如图②，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质、角的计算，由图形折叠的性质得到平分，平分，再利用角的和差得到，进而得出答案，利用折叠的性质得出平分，平分是解此题的关键． 解：由图形折叠的性质得到平分，平分， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2】（2023上·江苏苏州·八年级苏州草桥中学校考阶段练习）已知一次函数的图象与直线关于直线轴对称，则此一次函数的解析式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函数与几何变换问题，根据对称解答即可． 解：当时，, 当时，， 则直线过点， 一次函数与关于轴对称， 一次函数过点， 设直线关于直线轴对称的解析式为， 把代入得， 解得： 所以，直线关于直线轴对称的解析式为：． 故答案为： 【考点二】线段垂直平分线； 【例2】（2023上·河北邢台·八年级金华中学校联考阶段练习）如图，在中，是边上的一点，连接，垂直平分，垂足为，交于点，连接． （1）若的周长为，的周长为，求的长； （2）若，，求的度数． 【答案】（1