期末全等三角形专题复习 2023-2024学年华东师大版八年级数学上册

期末全等三角形专题复习之 “半角”模型 基础模型 等腰三角形含半角 等边三角形含半角 等腰直角三角形 含半角 已知:∠BAC=2α，AB=AC. ∠DAE=∠BAC=α 已知:∠BDC=120°BD= CD, ∠EDF= 60° 已知:∠BAC=90°AB=AC ∠DAE=45° 旋转2a变形后 旋转120°变形后 旋转90°变形后 结论1: ①△ABD≌△ACF, △△ADE≌△AFE; ②∠ECF= 180°-2α 结论2: ①△BDE≌△CDG, △DEF≌△DGF; ②EF= BE+FC 结论3: ①△ABD≌△ACF, △ADE≌△AFE; ②∠ECF=90°; ③DE2 = BD2+EC2 怎么用? 1.找模型 一个角包含着该角的半角，如120°角包含60°角,90°角包含45°角,或者出现关系,则考虑使用“半角”模型 2.用模型 ①找旋转点(含半角的角的顶点),构造旋转;②证全等;③利用全等得到边角的关系 结论分析 结论2: ①△BDE≌△CDG, △DEF≌△DGF; ②EF= BE+FC 证明:如图,以点D为旋转中心，线段DE按顺时针方向旋转120°到DG ,连接CG,则有DE=DG,∠EDG= 120° ∵ ∠BDE+∠EDC=∠EDC+∠CDG= 120°， ∴∠BDE=∠CDG 在△BDG和△CDG中， ∴△BDG△CDG ∴BE=CG 在△EDG和△GDF中， ∴△EDG△GDF ∴EF=GF=FC+CG=FC+BE 对于“半角”模型,一般情况下都需要做辅助线(旋转角度或构造等角) ,构造全等,然后通过证明全等得到相关结论. 模型拓展 菱形含半角（∠BAD=120°） 正方形含半角 旋转120°变形后 旋转90°变形后 结论4:①△ABE≌△ADG, △AEF≌△AGF ; ②△AEF为等边三角形(连 接AC,可得△AEC≌△AFD) 结论5:①△ABG≌△ADF △AGE≌△AFE; ②EF= BE+DF 拓展延伸 菱形、正方形中含半角，与基本模型中的解法一致,常在几何综合题中，以菱形、正方形为背景,考查“半角”模型. 例1如图， 在等边△ABC中,点E,F分别在AB,AC上,点D 为△ABC外一点,且∠EDF=60°,∠BDC= 120°. BD= DC(点拨： 含半角，含等边) 设△AEF的周长为C1,等边OABC的周长为C2,.若DE= DF,则的值为______________. 例2如图，已知△ABC是以点C为直角顶点的等腰直角三角 形（点拨：∠ ACB=90°,AC= BC），,点E、F在AB边上, ∠ECF=∠ACB（点拨：关系,即半角）.若AE=2, EF=3 ,则BF的长为 。 实战实演 1. 如图,在正方形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD上,∠ BAE+∠DAF=45°.若DF=2BE=2,则EF的长为__________. 2.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠ B=∠D=90°,∠BAD=120°,∠EAF =60°,E,F分别是BC,CD上的点，连接AE,AF,EF,若BE=3,DF=5,则EF的长为 . 3.如图,在四边形ABCD中,AB=AD,∠B+∠ADC= 180°,延长BC到点E,延长CD到点F ,使得∠EAF=∠BAD. 求证:EF= BE－FD. 4. 如图,在△ABC中,点D,E均在边BC上,点D在点E的左侧. (1)若∠BAC=90°,AB=AC,且∠. DAE=45°. 求证:BD2+CE2=DE2; (2)若∠BAC= 60°,AB=AC=5,且∠DAE= 30°,当BD= 1时,求线段CE的长. 课后过关专项训练 1. 如图，在等腰直角△ABC中，AC＝BC，∠BCA＝90°，D、E为斜边AB上的点，∠DCE＝45°，若AD＝2，DE＝5，则BE的长是（　　） A．3 B． C． D． 3题图 2题图 1题图 2.如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF，延长EF交DC于G，连接AC，现在有如下4个结论：①∠EAC＝45°；②FG＝FC；③FC∥AG；④S△GFC＝14．其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3.（2021秋•宜宾期末）已知：Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，D是BC边上的一个动点（其中0°＜∠BAD＜45°）以AD为直角边作Rt△ADE，其中∠DAE＝90°，且AD＝AE，DE交AC于点F，过点A作AH⊥DE于点G，交BC于H，在D点的运动过程中，有下列结论：①△ABD≌△ACE；②BD2+DC2＝