第五章 一元一次方程 第三讲 变形问题的应用 2023-2024学年北师大版数学七年级上册

第五章 一元一次方程 第三讲 一元一次方程的应用——变形问题 利用一元一次方程解决实际问题的思路： I. 设未知数为x； II. 用代数式表示题目中全部数量关系； III. 确定实际问题的等量关系； IV. 根据等量关系列一元一次方程并求解。 解题思路： （1）形状发生了变化——周长没变（或变量确定）——等量关系为变化前后周长相等； （2）形状发生了变化——体积没变——等量关系为变化前后体积相等； （3）形状、体积变化——根据题意找出比例关系——以这个关系作为等量关系。 周长 面积 体积 长方形周长＝2（长＋宽） 长方形面积＝长×宽 长方体体积＝长×宽×高 正方形周长＝4长 长方形面积＝长2 正方体体积＝长3 圆的周长＝＝ 圆的面积＝ 圆柱体体积＝ 知识点一 周长不变（确定变量）问题 例1. （2022七上长春期末）一个长方形的周长为28 cm，若这个长方形的长减少1 cm，宽增加2 cm，就可以成为一个正方形。设长方形的长为x cm，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【解析】 设长方形的长为x。 则根据题意可得，长方形的宽为，长减少1 cm后为，宽增加2 cm后为。 因为图形转化为正方形，则，化简为 所以，D项符合题意。 习 题 1. 一个长方形的周长为30 cm，若这个长方形的长减少5 cm，宽增加4 cm，就可以围成一个正方形，则原长方形的宽为（ ） A. 6 cm B. 5 cm C. 4 cm D. 3 cm 2. 《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，方程术是其中最高的数学成就。现有一个长方形的周长为20 cm，这个长方形的长减少2 cm，宽增加3 cm，就可以变成一个正方形，设长方形的宽为x cm。则可以列方程为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小兰将一个正方形纸片剪去一个宽为4 cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为5 cm的长条，如果再次剪下的长条面积正好相等，那么每一个长条的面积为（ ） A. 16 cm 2 B. 20 cm 2 C. 80 cm 2 D. 160 cm 2 4. 如图1，是边长为6的正方形硬纸版，在每个角上都剪去一个边长相等的小正方形，将其做成如图2的底面周长为16的正方形无盖纸盒，则这个无盖纸盒的高等于多少？ 【答案】 1. D 2. B 3. C 4. 1 知识点二 体积不变问题 例1. （2019七上山西期末）两个圆柱体容器如图所示。它们的直径分别为4 cm和8 cm，高分别为39 cm和10 cm。把容器一倒满水，然后将容器一中的水倒入容器二中，求容器二中的水面离容器口有多少cm？ 【解析】 设水面离容器口有x cm。 则根据题意可得，容器二中水面高度为 cm；容器二底面积为 cm2，容器一中水面高度为39 cm；容器一中底面积为 cm2。 因为容器一与容器二中的水体积相同，所以： 习 题 1. 将一根底面积为28.26平方厘米，高为10厘米的圆柱形铁块锻压成底面积为78.5平方厘米的“胖”铁块，此时的高为 。 2. 在一个底面直径为5 cm，高为18 cm的圆柱形玻璃瓶内装满水，再将瓶内的水完全倒入一个底面直径为6 cm，高为13 cm的圆柱形： （1）能否装满圆柱形杯子？为什么？ （2）若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。 3. 现有一个长、宽、高分别为20 cm、12 cm、20 cm的长方形容器内装有18 cm高的水，和一个高为32 cm的空的圆柱形水杯。把长方形容器内的水第一次倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度为15 cm时，与倒出水后的长方形容器内水的高度一样高，若第二次继续把长方形容器内的水倒入圆柱形水杯内，当圆柱形水杯内水的高度是倒出水后的长方形容器内水的高度的2倍时，则此时圆柱形水杯内水的高度是 cm（取3，容器的厚度不计）。 4. 用一个底面半径为4 cm、高12 cm的圆柱形玻璃杯向一个底面半径为10 cm的大圆柱形玻璃杯中倒水，倒了满满10杯水后，大玻璃杯的液面离杯口还有1 cm，求大玻璃杯的高为多少cm？ 【答案】 1.