专题二十四 分式运算技巧（24）讲义 2023-2024学年人教版数学八年级上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题二十四 分式运算技巧 分式运算的一般方法就是按照分式运算的法则、运算的顺序进行，但对一些运算量大的题目，运用一般方法计算量太大，导致出错，需要选择运算技巧。 类型一、一般的分式运算法 运算法则：1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2. 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3.分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 5 .混合运算:运算顺序和有理数运算顺序相同 【例1-1】计算：． 【例1-2】化简：，并给出x的值，使得该式的值为0． 【例1-3】已知：＝，＝，＝．求代数式a+b+c的值． 针对练习1 1．计算： （1）； （2）． 2．计算： （1）； （2）． 3．计算：． 类型二、分段分步法 一次通分计算量大利用相邻分母之间的特点，分步通分，构造公式，使运算简化。此法也用于解这类特征的分式方程 【例2-1】求分式，当a＝2时的值． 【例2-2】解方程： 针对练习2 1 .请阅读某同学解下面分式方程的具体过程． 解方程 解：① ② ③   ∴④ ∴． 把代入原方程检验知是原方程的解． 请你回答： （1）得到①式的做法是 ； 得到②式的具体做法是 ；          得到③式的具体做法是 ； 得到④式的根据是 ． （2）上述解答正确吗？如果不正确，从哪一步开始出现错误？答： ．错误的原因是 （若第一格回答“正确”的，此空不填）． 2．解方程：. 类型三、分裂整数法 当算式中各分子的次数与分母次数相同时，一般利用分裂整数法把分子降次后再通分。 【例3-1】阅读下面材料并解答问题 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母为，可设， 则 ∵对任意上述等式均成立， ∴且，∴， ∴ 这样，分式被拆分成了一个整式与一个分式的和 解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式 （2）求出的最小值． 【例3-2】阅读下列材料： 通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：＝＝2+＝2 我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）． 如：； 再如：＝x+1+ 解决下列问题： （1）分式是　真　分式（填“真”或“假”）； （2）将假分式化为带分式的形式为　1﹣　； （3）把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值． 针对练习3 阅读下列材料，并解答问题： 材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母x+1，可设x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b 则x2﹣x+3＝（x+1）（x+a）+b＝x2+ax+x+a+b＝x2+（a+1）x+a+b ∵对于任意x上述等式成立 ∴解得： ∴ 这样，分式就拆分成一个整式x﹣2与一个分式的和的形式． （1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为　　； （2）已知整数x使分式的值为整数，则满足条件的整数x＝　 　； （3）当﹣1＜x＜1时，求分式的最小值． 2 .我们知道：分式和分数有着很多的相似点．如类比分数的基本性质，我们得到了分式的基本性质；类比分数的运算法则，我们得到了分式的运算法则，等等．小学里，把分子比分母小的分数叫做真分数．类似地，我们把分子整式的次数小于分母整式的次数的分式称为真分式；反之，称为假分式．对于任何一个假分式都可以化成整式与真分式的和的形式， 如：＝＝+＝1+； ＝＝+＝2+（﹣）． （1）下列分式中，属于真分式的是：　③　（填序号）； ①　　 ② ③　 　④ （2）将假分式化成整式与真分式的和的形式为：＝　2　+　　，若假分式的值为正整数，则整数a的值为　﹣2、1或3　； （3）将假分式 化成整式与真分式的和的形式：＝　a+1+　． 类型四、拆项法 当分式的分母因式分解后是连续的（递增或递减）的因式的积，可以将各分式拆项，相互抵消，达到化简的目的。 【例4-1】观察下列各式：，，， (1)由此可推测： ______； (2)依照上述规律，写出的推测过程； (3)请你猜想出能表示以上式子的一般规律，用含（表示整数）的等式表示出来，并说明理由； (4)请直接用（3）中的规律