第15章 分式考点知识梳理 讲义 2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题二十三 分式考点知识梳理专题 知识点回顾 一、分式的定义 一般地，如果A和B为两个整式，并且B中含有字母，那么式子A/B就叫做分式，A为分子，B为分母。 1.分式有意义，要求分母不为0，隐含分母要有字母； 2.分式无意义，分母为0； 3.分式值为0，分子为0 ，且分母不为0； 4.分式值为负或小于0，分子分母异号； 5.分式值为正或大于0，分子分母同号； 6.分式值为1，分子分母值相等； 7.分式值为-1，分子分母值互为相反数； 注意：分母中一定要含有字母的式子才叫分式；也就是分式的分母要满足两个条件的，a>不为0，b>必须含有字母，分式与整式的和，也是分式。 二、分式的基本性质 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。用式子表示为： 其中A,B,C为整式，且B、C≠0。 1.分式的符号，分式的分子分母和分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变； 2.分式的约分，就是把一个分式的分子和分母的公因式约去，约至它们再也没有公因式时就是最简分式了。 点拨：分子分母均为单项式时可以直接约分，即约去它们系数的最大公约数，然后约去分子分母的相同因式的最低次幂；分子分母为多项式时，要先将它们进行因式分解，再约分。 3.分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来分式相等的同分母的分式，就叫分式的通分；最主要的步骤就是最简公分母的确定。 三、分式的运算 1.分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 2.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 3.分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 4.分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 5.混合运算:运算顺序和以前一样。能用运算率简算的可用运算率简算。 6.正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂．(m,n是整数) （1）同底数的幂的乘法：； （2）幂的乘方：; （3）积的乘方：； （4）同底数的幂的除法：( a≠0)； （5）商的乘方：(b≠0) 7.科学记数法：把一个数表示成的形式（其中，n是整数）的记数方法叫做科学记数法。 用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是。 用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。 四、分式方程的概念 1 .分母中含有未知数的方程叫分式方程. （1）分式方程的重要特征： ①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知数. （2）分式方程和整式方程的区别就在于分母中是否有未知数（不是一般的字母系数）.分母中含有未知数的方程是分式方程，分母中不含有未知数的方程是整式方程. （3）分式方程和整式方程的联系：分式方程可以转化为整式方程. 2.分式方程的解法 解分式方程的基本思想：将分式方程转化为整式方程，转化方法是方程两边都乘以最简公分母，去掉分母。在去分母这一步变形时，有时可能产生使最简公分母为零的根，这种根叫做原方程的增根。因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程时必须验根。 3.解分式方程的一般步骤： （1）方程两边都乘以最简公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：当分母是多项式时，先分解因式，再找出最简公分母）； （2）解这个整式方程，求出整式方程的解； （3）检验：将求得的解代入最简公分母，若最简公分母不等于0，则这个解是原分式方程的解，若最简公分母等于0，则这个解不是原分式方程的解，原分式方程无解. （4）增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 4.列分式方程解应用题的基本步骤： 　　 (1)审——仔细审题，找出等量关系； 　　 (2)设——合理设未知数； 　　 (3)列——根据等量关系列出方程； 　　 (4)解——解出方程； 　　 (5)验——检验增根； 　　 (6)答——答题． 应用题的几种类型： (1) 行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。 (2) 工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。 高频考点 【考点1】分式的意义 【例1-1】7．当a取何值时，分式的值为零． 【例1-2】．当x取什么值时，分式的值为零？ 【例1-3】当x＝2时分式没有意义，求a的值． 【例1-4】下列式子中哪些是整式？哪些是分式？ ，，x2y，﹣，，﹣，，4a，，，． 针对练习1 1．下列各式，a2﹣b2，，，，，中，分式有（　　）个． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．对于分式，下列说法不正确的是（　　）