14.3 因式分解的应用（21）学案 2023-2024学年人教版八年级数学上册

八年级数学上期末培优专题复习 专题二十一 因式分解的应用 因式分解是中学代数中的一种重要的变形,它与整式、分式联系极为密切,分式运 算、解方程以及一些恒等变换,都经常用到因式分解.它不仅是初中代数中的一个重要的基础知识，也是初中数学中重要的数学思想方法，在今后的学习中应用很广，下面简单介绍因式分解的一些应用希望对大家有所帮助。 类型一、利用因式分解进行简便运算 【例1-1】利用因式分解进行简便计算： (1)； (2)． 【例1-2】简便计算： (1)； (2)． 【例1-3】用简便方法进行计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 针对练习1 1．利用因式分解简便运算：＝ ． 2．利用因式分解进行简便运算： (1)； (2) 3．利用因式分解进行简便运算： (1)； (2)． 4．利用因式分解进行简便运算： （1）    （2） 5．用简便方法计算：． 类型二、利用因式分解化简求值 【例2-1】先化简，再求值：，其中． 【例2-2】先因式分解,再求值:,其中 【例2-3】先进行因式分解，再求值． （1）已知串联电路的电压U＝IR1+IR2+IR3,当R1＝12.9，R2=18.5,R3=18.6,I=2.3时，求U的值． （2）已知a＋b＝－4，ab＝2，求多项式4a2b＋4ab2－4a－4b的值． 针对练习2 1．先化简，再求值． (1)，其中． (2)已知，，求代数式的值． 2．化简求值：，其中 3．（1）已知，，求的值． （2）先化简，再求值：，其中． 4．整体代换作为一种数学思想方法在代数式化简求值中比较常用． 例如：已知，求代数式：的值． 解：． 请仿照上面的方法求解下面的问题： (1)已知：，求代数式的值； (2)边长为a，b()的长方形的周长为16，面积为15，求代数式的值． 5．（1）先化简，再求值：，其中，； （2）若，求的值． 类型三、因式分解中看错系数问题 【例3-1】甲,乙两个同学分解因式时,甲看错了b,分解结果为;乙看错了a,分解结果为,则的值是_________. 【例3-2】两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 【例3-3】已知多项式，甲同学看错了常数项，分解因式为，乙同学看错了一次项系数，分解因式为，请求出正确的因式分解. 【例3-4】两位同学将一个二次三项式分解因式，一位同学因看错了一次项系数而分解成，另一位同学因看错了常数项而分解成，请将原多项式分解因式. 针对练习3 1．在分解因式时时，甲看错了的值，分解的结果是；乙看错的值，分解的结果是．请你把进行正确的因式分解． 2．分解因式x2＋ax＋b时，甲看错a的值，分解的结果是(x＋6)(x－1)，乙看错b的值，分解的结果是(x－2)(x＋1)，求a＋b的值． 3．在学习对二次三项式x2+ax+b进行因式分解时，粗心的小明由于看错了a，而分解的结果是(x+4)(x－3)，小红看错b而分解的结果是(x+1)(x－5)．相信聪明的你能写出正确的分解结果是 ． 类型四、因式分解与整式恒等变形 【例4-1】著名数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西，这是数学解题的一个重要原则．” 恒等变形是代数式求值的一个很重要的方法，利用恒等变形，可以把无理数运算转化为有理数运算，可以把次数较高的代数式转化为次数较低的代数式例如：当时，求的值． 为解答这题，若直接把代入所求的式中，进行计算，显然很麻烦，我们可以通过恒等变形，对本题进行解答． 方法一：将条件变形，因，得．再把所求的代数式变形为关于的表达式，可得原式． 方法二：先将条件化成整式，再把等式两边同时平方，把无理数运算转化为有理数运算． 由，可得，即，． 原式． 请参照以上的解决问题的思路和方法，解决以下问题： （1）当时，求的值； （2）当时，求的值． 【例4-2】因式分解是多项式理论的中心内容之一，是代数中一种重要的恒等变形，它是学习数学和科学技术不可缺少的基础知识．在初中阶段，它是分式中研究约分、通分、分式的化简和计算的基础；利用因式分解的知识，有时可使某些数值计算简便．因式分解的方法很多，请根据提示完成下面的因式分解并利用这个因式分解解决提出的问题． （1）填空： ①（   ）（   ）（   ） ② =（    ）（   ）=（   ） （   ） （2）解决问题，计算： 针对练习4 1．阅读下列材料，并完成相应的任务． 把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）．它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具． 把分解因式．该因