平方根与立方根讲义2023-2024学年人教版七年级数学下册

第四讲 平方根与立方根 知识梳理 1. 平方根 (1)定义： 一般地，如果一个数的平方等于a, 那么这个数叫作a 的平方根，也叫作a 的二 次方根，记为"", 读作"正负根号a". 如下： b²=a→=b 其中把a 称之为被开方数. (2)特性：正数有两个平方根，且互为相反数；负数没有平方根；0的平方根还是0. 2. 算术平方根 (1)定义：非负数的非负平方根称为算术平方根.一个数 a(a≥0)的算术平方根记作,读作 "根号a".0的算术平方根为0. (2)算术平方根的双重非负性：被开方数a是一个非负数，其结果“”也是一个非负数. 3. 平方根与算术平方根的联系与区别 1)联系； (1)算术平方根是平方根中的一部分，是取了一个数a 的平方根中的非负部分； (2)平方根和算术平方根的被开方数必须是非负数，负数没有平方根和算术平方根； (3)0的平方根和算术平方根都是0. 2)区别： (1)个数上；正数的平方根有两个，且互为相反数，必有一正一负.而算术平方根只有一 个，取它的正平方根 (2)表示方法：表示平方根，前面的“”表示其值有正负；表示算术平方根.特别 注意的是：≠ 4. 立方根 (1)定义： 一般地，一个数的立方等于a,这个数就叫作a的立方根，也叫作a 的三次方根，记为“”,读作"三次根号a".即可以表示如下 b³=a→=b 其中，a是被开方数，3是根指数. (2)特性：每个数都有一个立方根，且正数有且仅有一个正的立方根，负数有且仅有一个负的立方根，0的立方根是0. 推广：一个数的奇次方根有且只有一个. (3)与平方根的主要区别：表示方法的不同；负数也有立方根，但是没有平方根. 5. 几个关于平方根、立方根的记忆点 (1)一个数的平方根是本身，这个数是0; (2)一个数的算术平方根是本身，这个数是0,1 (3)一个数的立方根是本身，这个数是-1,0,1. (4)几个常见平方根的近似值：=1.414, =1.732, =2.236. 6. 实数 (1)实数的定义：无理数和有理数统称为实数. 其中无理数是无限不循环小数，不能写成分数的形式(这里 p,q是互质的整数，且 p≠0),其主要形式有： ①所有开不尽的方根都是无理数，如, 等(注意，不是所有带根号的数都是无理数，如); ②圆周率π及一些含有π的数都是无理数，如等； ③无限不循环小数，如0.1010010001…(每两个1中依次多一个0). (2)实数的分类： 典型例题 例1 下列各数有没有平方根?如果有，求出它的平方根和算术平方根；如果没有，请说明理由. 分 析 要判断一个数有没有平方根，就要判断被开方数是不是负数.如果是负数的话，就没有平方根，其余的都有.特别需要留意的是的平方根，其实是求25的平方根的平方根，即 ,所以其平方根应该为. 解 (1)有，,4;(2)有，,2;(3)无平方根；(4)有，，;(5)有，, 利用如图4-1所示的5×5方格，每个小方格的边长均为1个单位长度，请在方格中作出 面积为10平方单位的正方形，然后在数轴上表示实数与(如图4-2所示). 分 析 考查在数轴上精确地表示个别无理数是经常出现的一种题型，而且也是学生觉 得比较难的.这种题目主要首先使用面积法获得该无理数的长度，进而将其表现在数轴上.这里列举了几种常见的由面积法求无理数的长度. 如图4- 3(a)(b)(c) 所示，其中每一个小正方形的边长均为1. 由图4-3可知；是边长为1 的正方形的对角边长；是长为2,宽为1 的长方形的对角边长；是长为3,宽为1的长方形的对角边长. 解 面积为10平方单位的正方形如图4-3(c) 所示，和-如图4-4所示. 图 4 - 4 例 3 已知 |x+2 |+ √y-3+(x+1)²=0,求 x+y+x的平方根. 分 析 在我们初中数学学习里面，主要有三个典型的非负数，分别是绝对值、平方(偶次方), 算术平方根.我们知道这些非负数如果相加为0,那么只能每一个都为0.由此，我们可以得到关于x,y,x 的方程，从而求得x+y+x的平方根. 解因为 |x+2 |++(x+1)²=0, 所以x+2=0,y-3=0,x+1=0, 所以x=-2,y=3,x=-1, 所以 x+y+x=0, 所以x+y+x的平方根为0. 求下列各数的相反数和绝对值： - π,,, 分 析 本题考查的是实数的相反数和绝对值的求法.在实数中，有关于相反数、绝对值和数与 数之间的大小比较的内容都是适用的.一个实数的相反数，就是在其前面添加"一".正实数的 绝对值是它本身，负实数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 解 - π的相反数是π,绝对值是π.的相反数是,绝对值是. 的相反数是,绝对值是.的相反数是,绝对值是. 双基训练 1.下列说法正确的是(