21.3 实际问题与一元二次方程 学案 -2023-2024学年人教版九年级数学上册

21.3实际问题与一元二次方程学案 【学习目标】 (一)学习目标 1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程并求解，体会方程是刻画现实世界某些问题 的一个有效的数学模型 2.理解“增长率”型问题的实质，会检验所得结果是否合理 3.熟练掌握“销售”类问题的解题方法，会检验所得结果是否合理，培养分析问题、解决问题的能 力 【学习重难点】 (一)学习重难点 重点：建立一元二次方程模型解决实际问题 难点：探究增长率问题中的等量关系， 【探索新知】 (一)探索新知 1.列方程解应用题，指的是先把 抽象为 (即建立方程模型)，然后通过解 决数学问题来解决实际问题。 列一元二次方程解应用题的一般步骤与列一元一次方程解应用题一样，也可归纳为：审、设、列、 解、检、答。 2.常见实际问题的数量关系及表示方法 常见问 公式 注意 题 a为起始量，b为终此量，n为增长 传播问题、复息存款问题的本 平均增 (或降低)的次数，平均增长率公式： 质与平均增长率问题相同.在 长率（降 (x为平均增长率) 传播问题中，α为传染源数，在 低率)问 平均降低率公式： 复息存款问题中，利率相当于 题 (x为平均降低 增长率， 率) 几何图 涉及的常见计算与证明有三角形的 图形问题常将数量关系隐含在 形面积 幼关系、三角形全等、勾股定理、 图形中，审题时需要结合图形 问题 各种规则图形的面积、体积或周长 分析，当所涉及的图形是不规 公式. 则图形时，需割补成规则图形 或用“求补"（即"总体.多余"）的 方法来处理。 本息和=--十---- 如果存在利息税，利息的计算 存款利 利息= 要扣除交税的部分，本算法是 息问题 “单息存款”的算法.“复息”即 “利滚利”的算法同增长率。 (1)两位数 用数位上的数字乘以它的计数 单位，就可以将这个数表示出 数字问 (2)三位数= 100+ 来.审题时一定要注意数与数 题 -‘10+ 字之间的联系与区别 利润=」 在理解的基础上记忆公式，针 利润率= 利润100%： 对实际问题厘清各个量之间的 商品销 进价 关系 售问题 售价=进价· 总利润=总售价·总成本=单件利 润×总销量 【思考与讨论】 （一)思考与讨论 思考： 1.经过计算，你可以得到什么结论？ 2.成本下降额大的药品，它的成本下降率一定也大吗？ 3.应怎样全面的比较几个对象的变化状况？ 设计意图：例题后设计的思考可以促进学生对实际背景的深入思考，很多实际问题中都要考虑 数学之外的因素，但类似问题的数学内核却是相通的这些问题就是希望学生既能学会方程解 决实际问题的基本技能，也能不脱离生活 【巩固训练】 (一）巩固训练 1.用A、B两种规格的长方形纸板（如图1）无重合无缝隙的拼接可得如图2所示的周长为32cm 的正方形，已知A种长方形的宽为1cm,则B种长方形的面积是() B B A B B B 图1 图2 A.10cm2 B.12cm2 C.14cm2 D.16cm2 2.某超市一月份的营业额为200万元，三月份的营业额为242万元，如果每月比上月增长的 百分数相同，设平均每月的增长率为X,则可列方程一· 3.某品牌服装原价173元，连续两次降x%后售价是127元，则下面所列方程中正确的是() A.1731+x%)2=127 B.1731-2x%)=127 C.1731-x%)2=127 D.127(1+x%)2=127 4某商店销售某种商品，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售增加盈利，该商店 采取了降价措施，在每件盈利不少于25元的前提下，经过一段时间销售，发现销售单价每降低1 元，平均每天可多售出2件，当每件商品降价多少元时，该商品每天的销售利润为1200元？ 5.如图所示，已知在△ABC中，DB=90°，AB=6Cm,BC=12cm,点Q从点A开始沿AB 边向点B以lcm/s的速度移动.点P从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动. (1)如果Q、P分别从A、B两点同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于8cm2? (2)在(1)中，△PB0的面积能否等于10cm?试说明理由. AQ B 6.公安部交管局部署“一盔一带”安全守护行动，带动了市场头盔的销量.某头盔经销商5至7 月份统计，某品牌头盔5月份销售2250个，7月份销售3240个，且从5月份到7月份销 售量的月增长率相同请解决下列问题， (1)求该品牌头盔销售量的月增长率： (2)为了达到市场需求，某工厂建了一条头盔生产线生产头盔，经过一段时间后，发现一条 生产线最大产能是900个/天，但如果每增加一条生产线，每条生产线的最大产能将减少30 个/天，现该厂要保证每天生产头盔3900个，在增加产能同时又要节省投入的条件下（生产 线越多，投入越大)，应该增加几条生产线？ 7.一个小