专题28 直线与椭圆过定点验证定值问题（期末大题2）2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题28 直线与椭圆过定点验证定值问题（期末大题2） （原卷版） 题型 直线与椭圆过定点验证定值问题 1．直线过定点问题 （1）直线过定点问题的解题模型 （2）求解动直线过定点问题，一般可先设出直线的一般方程：，然后利用题中条件整理出的关系，若，代入得，则该直线过定点． 形如1：如图，椭圆的左、右焦点分别为，上顶点为A，过点A与垂直的直线交x轴负半轴于点Q，且恰是的中点，若过A，Q，三点的圆与直线相切． （1）求椭圆C的方程； （2）设M，N为椭圆C的长轴两端点，直线m过点交C于不同两点G，H，证明：四边形MNHG的对角线交点在定直线上，并求出定直线方程． 破解：（1）设椭圆C的半焦距为，由圆的定义可求得圆的半径，再由直线与圆的相切的条件可求得， ，，可求得椭圆方程． （2）设其方程为，设，，直线与椭圆的方程联立整理得，得出根与系数的关系，表示直线MH的方程和直线GN的方程。求得两直线的交点的横坐标，代入，可得交点所过的定直线. （1）设椭圆C的半焦距为，由为线段中点，， 所以A，Q，三点圆的圆心为，半径为， 又因为该圆与直线l相切，所以，∴，所以，， 故所求椭圆方程． （2）由对称性可知，若存在，则必为垂直于x轴的直线． 依题意，直线l斜率必存在且不为0，设其方程为， 设，，联立，得， 所以，故， 不妨设，， 所以直线MH的方程为，直线GN的方程为 消去y，得 故四边形MNHG的对角线交点在定直线上． 形如2：如图，在平面直角坐标系中，，是椭圆的左､右顶点，，离心率.是右焦点，过点任作直线交椭圆于，两点. （1）求椭圆的方程； （2）试探究直线与直线的交点是否落在某条定直线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由. 破解：（1）根据题中条件，求出，即可得出椭圆方程； （2）设直线方程为，设，，联立直线与椭圆方程，由韦达定理，得到，，表示出直线和的方程，联立两直线方程，计算为定值，即可得出结果. （1），，则， 设焦距为，离心率，，， 因此所求的椭圆方程为 （2）设直线方程为，设，， 由得， ，， 直线方程是，直线方程是， 由， 可得 ，解得： 此直线与直线的交点落在定直线上. 形如3：如图所示，设椭圆M：的左顶点为A，中心为O，若椭圆M过点，且AP⊥OP． (1)求椭圆M的方程； (2)若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值； (3)过点A作两条斜率分别为k1，k2的直线交椭圆M于D，E两点，且k1k2＝1，求证：直线DE过定点． 破解：（1）根据题意可得kAP·kOP＝－1，可求出，再由椭圆M过点P，将点P坐标代入椭圆方程可求出，从而可求出椭圆方程， （2）求出直线AP的方程，设，再求出点Q到直线AP的距离，从而可表示出△APQ面积，再利用三角函数的性质可求得结果， （3）解法1：单参数法，由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，可求出点的坐标，同理求出点的坐标，从而可表示出直线DE的方程，从而可求得结果，解法2：设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，利用根与系数关系，再由k1k2＝1，可求出，从而可求得结果. （1）由AP⊥OP，可知kAP·kOP＝－1． 又点A的坐标为（－a，0）， 所以，解得a＝1． 又因为椭圆M过点P，所以，解得， 所以椭圆M的方程为． （2）由题意易求直线AP的方程为，即x－y＋1＝0． 因为点Q在椭圆M上，故可设， 又， 所以， 当，即时，， 取得最大值． （3）法一：单参数法 由题意易得，直线AD的方程为y＝k1（x＋1），代入x2＋3y2＝1，消去y， 得， 设D（xD，yD），则， 即，所以． 设E（xE，yE），同理可得，． 又k1k2＝1且k1≠k2，可得且k1≠±1， 所以， 所以 故直线DE的方程为． 令y＝0，可得． 故直线DE过定点（－2，0）． 法二：双参数法 设D（xD，yD），E（xE，yE）． 若直线DE垂直于y轴，则xE＝－xD，yE＝yD， 此时与题设矛盾， 若DE不垂直于y轴，可设直线DE的方程为x＝ty＋s，将其代入x2＋3y2＝1，消去x， 得（t2＋3）y2＋2tsy＋s2－1＝0， 则． 又， 可得（t2－1）yDyE＋t（s＋1）（yD＋yE）＋（s＋1）2＝0， 所以， ， 化简得， 解得s＝－2或s＝－1． 又DE不过点A，即s≠－1，所以s＝－2． 所以DE的方程为x＝ty－2． 故直线DE过定点（－2，0）． 形如4：已知点，，曲线C上的动点M满足． (1)求曲线C的方程； (2)若直线与曲线C相交于另一点N，当直线MN不垂直于x轴时，点M关于轴的对称点为P，证明：直线PN恒过一定点． 破解：（1）由题意得出，根据椭圆的定义可知曲线C是以，为焦点，长轴长为