精品解析：四川省成都市列五中学2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题

成都列五中学2023-2024学年度（上）阶段性考试（三） 高2022级 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某校高一､高二､高三的住校生人数分别为120，180，150，为了解他们对学校宿舍的满意程度，按人数比例用分层抽样的方法抽取90人进行问卷调查，则高一､高二､高三被抽到的住校生人数分别为（ ） A. 12，18，15 B. 20，40，30 C. 25，35，30 D. 24，36，30 2. 已知向量，且，其中，则（ ） A. 4 B. －4 C. 2 D. －2 3. 如图，在空间四边形中，，，，点满足，点为的中点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在四棱锥中，底面，底面为正方形，，E为CD的中点，F为PC的中点，则异面直线BF与PE所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 5. 圆与直线的位置关系 A. 相切 B. 相离 C. 相交 D. 不能确定 6. 已知双曲线上一点P到它的一个焦点的距离等于5，那么点P到另一个焦点F的距离等于（ ） A. 3 B. 3或7 C. 5 D. 7 7. 已知抛物线：的焦点为，抛物线上有一动点，，则的最小值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 8. 已知椭圆，点是上任意一点，若圆上存在点、，使得，则的离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分. 9. 已知曲线，则下列说法正确是（ ） A. 若，则曲线C是圆 B. 若，则曲线C是焦点在y轴上的椭圆 C. 若，则曲线C是焦点在x轴上的双曲线 D. 曲线C可以是抛物线 10 先后两次掷一枚质地均匀的骰子，表示事件“两次掷的点数之和是4”，表示事件“第二次掷出的点数是偶数”，表示事件“两次掷出的点数相同”，表示事件“至少出现一个奇数点”，则（ ） A. 与互斥 B. C. D. 与相互独立 11. 已知抛物线：，为坐标原点，直线交抛物线于，两点，若，则（ ） A. B. 直线过定点 C. 的最小值为 D. 的最小值为2 12. 如图，在棱长为6的正方体中，分别为的中点，点是正方形面内（包含边界）动点，则（ ） A. 与所成角为 B. 平面截正方体所得截面的面积为 C 平面 D. 若，则三棱锥的体积最大值是 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 甲、乙两名优秀大学毕业生准备应聘某世界五百强企业，甲通过面试的概率是，乙通过面试的概率是，且甲、乙是否通过面试是相互独立的．那么这两名大学生至少有一名通过面试的概率为______． 14. 数据，，，的平均数为6，方差为4，若数据，，，的平均数为，方差为，则______． 15. 已知点在曲线上运动，则最大值为__________． 16. 双曲线两个焦点为，，以的实轴为直径的圆记为，过作的切线与交于，两点，且，则的离心率为__________． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 第31届世界大学生夏季运动会（简称大运会）将于2023年7月28日在四川成都开幕，这是中国西部城市第一次举办世界性综合运动会.为普及大运会相关知识，营造良好的赛事氛围，某学校举行“大运会百科知识”答题活动，并随机抽取了20名学生，他们的答题得分（满分100分）的频率分布直方图如图所示. （1）求频率分布直方图中的值及这20名学生得分的80%分位数； （2）若从样本中任选2名得分在内的学生，求这2人中恰有1人的得分在内的概率 18. 已知圆，圆上存在关于x－y+1=0对称的两点. （1）求圆的标准方程； （2）过点的直线被圆截得的弦长为8，求直线的方程. 19. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，点分别为的中点. （1）证明：直线平面； （2）求点到平面的距离. 20. 已知过点的直线与双曲线交于. （1）求与双曲线共渐近线且过点的双曲线的方程； （2）若线段的中点为，求直线的方程和三角形面积. 21. 如图甲，在矩形中，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙. （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置. 22. 动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线. （1）求曲线的方程； （2）设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，若直线的斜