专题27 直线与椭圆的位置关系及椭圆的弦长问题、面积问题（期末大题1）2023-2024学年高二数学上学期期末题型秒杀技巧及专项练习（人教A版2019）

专题27 直线与椭圆的位置关系及椭圆的弦长问题、面积问题（期末大题1） （原卷版） 题型 直线与椭圆的位置关系及椭圆的弦长问题、面积问题 技巧总结 Ⅰ：椭圆与直线相交于AB两点，求AB的弦长． 设 ① 注意：一定要记住韦达定理，分母为前的系数，和的分子相反数为前的系数，积分子为常数项. ② 注意：（分母）为判别式，解决参数的取值范围 ③ 注意：弦长公式可以借助直线两点来验证，（同学们自行验证） ④ ⑤ 注意：为椭圆上任意一点. Ⅱ：椭圆中出现，或者椭圆与过定点的直线，则直线设为，消，留 ① 注意：一定要记住韦达定理，分母为前的系数，和的分子相反数为前的系数，积分子为常数项. ② 注意：（分母）为判别式，解决参数的取值范围 ③ ④ ⑤ 秒记：两种情况只需 模板：①求参数，的取值范围、②证明直线过定点③求最值④求值⑤证明定值 解： Ⅰ设直线方程为_______________, Ⅱ联立化解________________________________________ 故： Ⅲ由可得:二次项系数（万能） 化简得：_______________________________________________（加一个条件加以下三步） Ⅳ由题可得：____________________________（带有的式子） 即：___________________________________________________________________ 解得：___________________________________ 故：_________________________________________________________ 例1、已知椭圆的离心率为，焦距为．斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，． （1）求椭圆的方程 （2）若，求的最大值. 解：（1）由题可得：，解得：， 所以椭圆的方程为：． （2）设直线方程为：，联立直线与椭圆方程得：，整理得： ，所以， 直线与椭圆有两个不同的交点，，则：， 解得：． 所以=， 当且仅当时，等号成立． 所以的最大值为. 例2、已知椭圆的离心率为，焦距为.斜率为的直线与椭圆有两个不同的交点，. (1)求椭圆的方程； (2)若，求面积的最大值. 解：(1)解:由题意得 解得，. 所以椭圆M的方程为. (2)解:设直线的方程为，，. 由得， 所以，. 所以 . 到直线的距离. ∴， 当且仅当时取到最大值. 例3、设为坐标原点，椭圆的焦距为，离心率为，直线与 交于，两点． （1）求椭圆的方程； （2）设点，，求证：直线过定点，并求出定点的坐标． 解：（1） 因为，则 故，所以椭圆的方程为 （2）设，， 联立，消去整理可得 所以，， 所以 因为， 所以 所以 整理可得解得或（舍去）所以直线过定点 例4、已知椭圆C：的离心率，焦距为2，直线l与椭圆C交于A，B两点． （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线l过椭圆的右焦点F，且，求直线l方程． 解：（1）设椭圆的焦距为，则由， 则， ； （2）当直线l为时，， 不满足；所以设直线l：， 联立， 设， 则， 又, ，故直线l：，即． 1．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点在上，，，为直线上关于轴对称的两个动点，直线，与的另一个交点分别为，. (1)求的标准方程； (2)为坐标原点，求面积的最大值. 2．在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且过点 (1)求椭圆C的方程； (2)设直线l的斜率存在，不经过A点且与C交于两个不同的点P，Q，若直线分别与y轴交于点，且，证明：直线过定点． 3．设椭圆，为左、右焦点．已知椭圆的短轴长为4，离心率为．已知直线过交椭圆于，两点 (1)求椭圆的方程； (2)若直线交轴于，直线交轴于，且，求直线的方程； 4．已知椭圆，焦距为2，离心率. (1)求椭圆的方程； (2)若椭圆的左焦点为，椭圆上A点横坐标为，求椭圆的长轴长、短轴长及的面积. 5．已知椭圆的焦点是，，且，离心率为. (1)求椭圆C的方程； (2)若椭圆C与直线交于M，N两点，且，求实数的值. 6．设椭圆的右顶点为，上顶点为.已知椭圆的离心率为，. (1)求椭圆的方程； (2)设直线与椭圆交于，两点，与直线交于点，且点，均在第四象限.若，求的值. 7．已知椭圆的离心率，短轴长为. (1)求椭圆的方程； (2)过点且斜率不为的动直线与椭圆交于、两点，点是直线上一定点，设直线、的斜率分别为、，若为定值，求点的坐标. 8．已知椭圆C:的离心率为长轴的右端点为. (1)求C的方程； (2)不经过点A的直线与椭圆C分别相交于两点，且以MN为直径的圆过点， ①试证明直线过一定点，并求出此定点； ②从点作垂足为，点写出的最小值（结论不要求证明）.