第一章第02讲 等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练)-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学下册同步学与练（北师大版）

第02讲 等边三角形的性质与判定 (4类热点题型讲练) 1.经历“探索——发现——猜想——证明”的过程，逐步掌握综合法证明的方法，发展推理能力； 2.经历实际操作，探索含有30°角的直角三角形性质及其推理证明过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理的能力； 3.在具体问题的证明过程中，有意识地渗透分类讨论、逆向思维的思想，提高学生的能力. 知识点01 等边三角形的性质 （1）等边三角形性质1：等边三角形的三条边都相等； （2）等边三角形性质2：等边三角形的每个内角等于； （3）等边三角形性质3：等边三角形是轴对称图形，有三条对称轴. 知识点02 等边三角形的判定 （1）等边三角形的判定方法1：（定义法：从边看）有三条边相等的三角形是等边三角形； （2）等边三角形的判定方法2：（从角看）三个内角都相等的三角形是等边三角形； （3）等边三角形的判定方法3：（从边、角看）有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形. 题型01 等边三角形的性质 【例题】（2023上·内蒙古呼和浩特·八年级呼市四中校考期中）如图，是等边三角形的中线，，则的度数为 ． 【变式训练】 1．（2022下·上海浦东新·七年级校考期末）如图，在中，D，E是的三等分点，且是等边三角形，则 ． 2．（2023上·河北沧州·八年级校联考阶段练习）如图，和均为等边三角形，点分别在上． （1）若，则 度； （2）是否与全等？ ．（填“是”或“否”） 题型02 等边三角形的判定 【例题】（2023上·甘肃庆阳·八年级统考期中）如图，在中，，点在边上，连接．若，求证：是等边三角形． 【变式训练】 1．（2023上·湖南长沙·八年级校联考期中）如图，点在的外部，点在边上，交于点，若，，．    (1)求证：； (2)若，判断的形状，并说明理由． 2．（2023上·广东惠州·八年级校考期中）如图，中，D为边上一点，的延长线交的延长线于F，且，．    (1)求证：是等腰三角形； (2)当等于多少度时，是等边三角形？请证明你的结论． 题型03 等边三角形的判定和性质 【例题】（2023上·山东淄博·八年级校考期中）如图，已知和均是等边三角形，点B，C，D在同一条直线上，与交于点． (1)求证：； (2)若与交于点N，与交于点，连接，求证：为等边三角形． 【变式训练】 1．（2023上·安徽芜湖·八年级校联考阶段练习）如图，在等边中，点在内，，且，． (1)试判定的形状，并说明理由； (2)判断线段，的数量关系，并说明理由． 2．（2023上·河北石家庄·八年级校考期末）如图，在中，，点D在内部，，，点E在外部，． (1)求的度数； (2)判断的形状并加以证明； (3)连接，若，求的长． 题型04 含30°角的直角三角形三边的数量关系 【例题】（2023上·辽宁大连·八年级统考期中）如图，是等边三角形，是中线，延长至点E，使． (1)求证：； (2)过点D作垂直于，垂足为F，若，求的周长． 【变式训练】 1．（2023上·江苏苏州·八年级苏州市立达中学校校考期中）如图，在中，，点是上一点，若，则 ． 2．（2023上·重庆渝中·八年级重庆市求精中学校校考期中）已知：如图，在等边中，点D是上任意一点，点E在BC延长线上，连接，使得． (1)如图1：求证：； (2)如图2，取的中点F，连接，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，过点F作于点H，求证：． 一、单选题 1．（2023上·河南南阳·八年级统考阶段练习）如图，在等边三角形中，平分，若，则的长为（） A． B． C． D． 2．（2023上·河北廊坊·八年级校考期末）如图，在中，，，，则的长为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（2023上·河南商丘·八年级统考期中）如图，在正中，点D是边上任意一点，过点D作于F，交于点E，则的度数为（　　）    A． B． C． D． 4．（2023上·山西大同·八年级统考期中）如图，，点是射线上一点，且，点，在射线上，且，．则的长为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2023上·湖南永州·八年级统考期中）如图所示，在等边三角形中，D，E分别在边，上，且，与交于点F，，垂足为点G.下列结论：①；②；③是等边三角形；④，其中正确结论的个数是（    ）      A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 6．（2023上·浙江温州·八年级瑞安市安阳实验中学校考期中）已知等边三角形的周长为18，则边长为 ． 7．（2023上·福建龙岩·八年级校联考期中）如图，在中，，那么 ．若P是边上一动点，连接，则的长的取值范围为 ． 8．（2023上·安徽淮