5.6 函数y＝Asin(ωx＋φ)讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

第五章 三角函数 §5.6函数 一、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 （一）“图像变换法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 1.先平移后伸缩 2.先伸缩后平移 （二）“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象 第一步：列表. ωx＋φ 0 π 2π x － － － － － y 0 A 0 －A 0 第二步：在同一坐标系中描出各点． 第三步：用光滑曲线连接这些点，得到一个周期内的图象，再将图象左右延伸． 【典例1】画出函数的图象． 【分析】第一种方法，先求周期再用“五点法”作出在一个周期内的图象,从图象求值域;第二种方法，先从的图象变换得到图象再求周期和值域. 【详解】（方法一）先作出函数的图象，将正弦曲线向左平移个单位长度，得到函数的图象；再将的图象上每一点的纵坐标不变、横坐标缩短为原来的，得到函数的图象；再将函数的图象上每一点的横坐标不变、纵坐标扩大为原来的2倍，就得到函数的图象，如下图： （方法二）函数的周期，先用“五点法”作出它在一个周期内的图象，列表如下： 0 0 2 0 0 作出函数在上的简图，并左右连续地平移，就可以得到这个函数的图象，如下图： 二、函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的性质 定义域 R 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数； 当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数. 值域 [－A，A] 周期性 T＝ 单调性 由2kπ－≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递增区间 由2kπ＋≤ωx＋φ≤2kπ＋，k∈Z，解得单调递减区间 对称中心 令ωx＋φ＝kπ，y＝0得(k∈Z) 对称轴 令ωx＋φ＝kπ＋，得x＝＋(k∈Z) 【典例2】若将函数的图象上各点横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)得到函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A．函数在上单调递增 B．函数的周期是 C．函数的图象关于点对称 D．函数在上最大值是1 【答案】A 【详解】将横坐标缩短到原来的得： 当时，在上单调递增    在上单调递增，正确； 的最小正周期为：    不是的周期，错误； 当时，，关于点对称，错误； 当时，    此时没有最大值，错误. 【典例3】已知函数的部分图象如图所示，则（    ） A．的最小正周期为 B．当时，的值域为 C．将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D．将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】ACD 【分析】先根据中，，的几何意义，求得的解析式，再结合正弦函数的图象与性质，函数图象的变换，逐一分析选项即可． 【详解】由图可知，，函数的最小正周期，故A正确； 而， 因为，所以，所以，，即，， 又，所以，所以， 对于B，当时，，所以，所以的值域为，故B错误； 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度，得到的图象，故C正确； 对于D，将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，因为当时，，所以得到的函数图象关于点对称，故D正确． 【方法总结】由y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象确立三角函数的解析式： （1）A：一般可由图象上的最大值、最小值来确定． （2）ω：因为T＝，故往往通过求周期T来确定ω，相邻的最高点与最低点之间的距离为；相邻的两个最高点(或最低点)之间的距离为T. （3）φ：从“五点法”中的第一个点作为突破口，要从图象的升降情况找准第一个点的位置，同时注意题目中给出的φ的范围，除使用初始点外，还可在五点中找两个特殊点列方程组来求解φ. 【变式】已知函数的部分图象如图所示．则（    ） A．的图象关于中心对称 B．在区间上单调递增 C．函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数的图象 D．将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象 【答案】ABD 【分析】由题意首先求出函数的表达式，对于A，直接代入检验即可；对于B，由复合函数单调性、正弦函数单调性判断即可；对于CD，直接由三角函数的平移、伸缩变换法则进行运算即可. 【详解】由图象可知，，解得， 又，所以，即，结合，可知， 所以函数的表达式为， 对于A，由于，即的图象关于中心对称，故A正确； 对于B，当时，，由复合函数单调性可知在区间上单调递增，故B正确； 对于C，函数的图象向右平移个单位长度可以得到函数，故C错误； 对于D，将函数的图象所有点的横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，故D正确. 2/2 学科网（北京）股份有限公司 $$