19.1.1变量与函数(第2课时) 教学设计 2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十九章 一次函数 19.1 函数 19.1.1　变量与函数（第2课时）1.进一步体会运动变化过程中的数量变化；从典型实例中抽象概括出函数的概念，了解函数的概念. 2.能确定简单实际问题中函数的自变量的取值范围. 3.会初步分析简单实际问题中的函数关系，讨论变量的变化情况. 4.经历具体实例的抽象概括过程，进一步发展抽象思维能力. 教学重难点 重点：1.理解函数的概念. 2.根据题目中的情境，列出函数解析式. 难点：1.正确理解函数概念中的“唯一对应”关系. 2.确定简单实际问题中函数的自变量的取值范围. 教学过程 导入新课 教师：我们来回顾一下，上节课所研究的每个问题中是否各有两个变量？同一问题中的变量之间有什么联系？也就是说当其中一个变量确定一个值时，另一个变量是否随之确定一个值呢？ 这将是我们这节课研究的内容. 探究新知 教师：首先回顾一下上节课中的问题（多媒体出示上节课中的问题）.思考每个问题中是否有两个变量，同一个问题中的变量之间存在什么联系. 师生活动：学生先独立思考后小组交流讨论，请学生代表回答. （1）在情景问题中，观察填出的表格，可以发现：t和s是两个变量，每当t取定一个值时，s就有唯一确定的值与其对应.例如t＝1，则s＝60；t＝2，则s＝120；…；t＝5，则s＝300. （2）在活动1中，经计算可以发现：每当售票数量x取定一个值时，票房收入y就随之确定一个值.例如第一场x＝150，则y＝1 500；第二场，x＝205，则y＝2 050；第三场x＝310，则y＝3 100. （3）在例1中，可以发现：r和S是两个变量，每当r取定一个值时，S就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为S＝πr2.据此可以算出r分别为10 cm，20 cm，30 cm时，S分别为100π cm2，400π cm2，900π cm2. （4）在例2中，可以发现：x和y是两个变量，每当x取定一个值时，y就有唯一确定的值与其对应.它们的关系式为y＝5-x.据此可以算出x分别为3 m，3.5 m，4 m，4.5 m时，y分别为2 m，1.5 m，1 m，0.5 m. 由以上回顾我们可以归纳出这样的结论： 上面每个问题中的两个变量互相联系，当其中一个变量取定一个值时，另一个变量随之就有唯一确定的值与它对应. 其实，在一些用图或表格表达的问题中，也能看到两个变量间的关系.我们来看下面两个问题，通过观察、思考、讨论后回答： （1）图1是某人体检时的心电图.其中横坐标x表示时间，纵坐标y表示心脏部位的生物电流，它们是两个变量.在心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的对应值吗？ 图1 （2）下面的我国人口数统计表中，年份与人口数可以分别记作两个变量x与y.对于表中每一个确定的年份（x），都对应着一个确定的人口数（y）吗？ 中国人口数统计表 年份 人口数/亿 1984 10.34 1989 11.06 1994 11.76 1999 12.52 2010 13.71 师生活动：学生分组讨论后派学生代表回答. 通过观察不难发现在问题（1）的心电图中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应；在问题（2）中，对于表中每个确定的年份x，都对应着一个确定的人口数y. 一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量（independent　variable），y是x的函数（function）.如果当x＝a时，y＝b，那么b叫做当自变量的值为a时的函数值. 可以认为：上节情景问题中时间t是自变量，路程s是t的函数.t＝1时的函数值s＝60，t＝2时的函数值s＝120，t＝2.5时的函数值s＝150，….同样地，在以上心电图问题中，时间x是自变量，心脏部位的生物电流y是x的函数；在人口数统计表中，年份x是自变量，人口数y是x的函数.当x＝2010时，函数值y＝13.71. 新知应用 例1　一辆汽车油箱中现有汽油50 L，如果不再加油，那么油箱中的油量y（单位：L）随行驶路程x（单位：km）的增加而减少，平均耗油量为0.1 L/km. （1）写出表示y与x的函数关系的式子. （2）指出自变量x的取值范围. （3）汽车行驶200 km时，油箱中还有多少汽油？ 师生活动：学生独立解决，请学生代表板演，做完后一起点评指正. 解：（1）行驶路程x是自变量，油箱中的油量y是x的函数.行驶路程x时耗油量为0.1x ，油箱中剩余油量为50-0.1x，所以函数关系式为y＝50-0.1x. （2）仅从式子y＝50-0.1x看，x可以取任意实数，但是考虑到x代表的实际意义是行驶路程，所以不能取负数.行驶中耗油量为0.1x，它不能超过油