第02讲 等边三角形（知识解读+达标检测）-2023-2024学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第02讲 等边三角形 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【题型3 等边三角形的判定】 【题型4等边三角形的判定与性质】 【题型5 含30°角的直角三角形的性质】 【题型6 反证法】 考点1：等边三角形的概念与性质 1. 等边三角形概念 三条边都相等的三角形叫做等边三角形.也称为正三角形. 注意： （1） 等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）. ∠A＝180°－2∠B，∠B＝∠C＝ . （2）等边三角形与等腰三角形的关系：等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形不一定是等边三角形. 2.等边三角形的性质 （1）等边三角形是一类特殊的等腰三角形，有三条对称轴，每个角的平分线(底边上的高线或中线)所在的直线就是它的对称轴. （2）三个角都是60° 【题型1利用等边三角形的性质求边长】 【典例1】（2023秋•文登区期中）如图，在等边△ABC中，AB＝5，点D在AB上，且BD＝1，点E、F分别是BC、AC上的点，连接DE，EF，如果∠DEF＝60°，DE＝EF，那么BE的长是（　　） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【变式1-1】（2023春•余江区期中）如图，等边三角形纸片ABC的边长为8，点E，F是BC边的三等分点．分别过点E，F沿着平行于BA，CA的方向各剪一刀，则剪下的△DEF的周长是（　　） A．3 B． C．6 D．8 【变式1-2】（2023春•东明县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，∠B＝60°，AD⊥BC于点D．则CD的长为（　　） A．8 B．7 C．6 D．5 【变式1-3】（2022秋•浉河区期末）△ABC中，∠C＝60°，AC＝AB，BC＝5，则△ABC的周长为 　　． 【题型2利用等边三角形的性质求角度】 【典例2】（2022秋•金平县期末）如图，P是等边△ABC的边AC的中点，E为BC边延长线上一点，PE＝PB，则∠CPE的度数为（　　） A．20° B．25° C．30° D．35° 【变式2-1】（2022秋•安次区期末）如图，已知△ABC是等边三角形，点B、C、D、E在同一直线上，且CG＝CD，DF＝DE，则∠E的度数为（　　） A．25° B．20° C．15° D．7.5° 【变式2-2】（2023秋•琼中县期中）如图，直线a、b分别经过等边三角形ABC的顶点A、C，且a∥b，∠1＝42°，则∠2的度数为（　　） A．18° B．42° C．60° D．102° 【变式2-3】（2023秋•西山区校级期中）如图，直线a∥b，等边三角形ABC的顶点C在直线b上，∠2＝45°，则∠1的度数为（　　） A．80° B．60° C．75° D．45° 考点2：等边三角形的判定 （1）三个角相等的三角形是等边三角形. （2）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形. 【题型3 等边三角形的判定】 【典例3】（2023秋•前郭县期末）如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，E是AC的中点，DE⊥AC，交AB于D，连接CD．求证：△CDB是等边三角形． 【变式3-1】（2023秋•公主岭市期末）已知：如图，AB＝BC，∠CDE＝120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，求证：△ABC是等边三角形． 【变式3-2】（2023秋•宁江区期中）如图，△ECB中，∠CEB＝∠B，延长BE至点A，过点A作AD∥CE，∠A＝60°，连接CD． 求证：△ECB是等边三角形． 【变式3-3】（2023秋•浏阳市期中）已知：如图，△ABC中，AB＝AC，D为BC上一点，过点D作DE∥AB交AC于点E． （1）求证：∠C＝∠CDE． （2）若∠A＝60°，试判断△DEC的形状，并说明理由． 【题型4等边三角形的判定与性质】 【典例4】（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点． （1）求证：AD＝BE； （2）求∠DOE的度数； （3）求证：△MNC是等边三角形． 【变式4-1】（2023•张店区校级二模）如图，在等边△ABC中，点D在边BC上，过点D作DE∥AB交AC于点E，过点E作EF⊥DE，交BC的延长线于点F． （1）求∠F的度数； （2）求证：DC＝CF． 【变式4-2】（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°． （1）求证：△ACD为等边三角形； （2）求∠BAC的度数． 【变式4-2】（2021秋•白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE