第11章反比例函数知识点梳理 2023-2024学年苏科版八年级数学下册

反比例函数知识点 1、 定义：一般地，如果变量y和x之间函数关系可以表示成 y=（k 是常数且 k≠0）的形式，则称y是x的反比例函数，其中k叫做比例系数. 反比例函数三种表达形式： ①y=（k≠0，x≠0） ②xy=k（k≠0，x≠0）（重要结论;反比例函数上的点的横坐标和纵坐标乘积相等） ③y=kx-1（k≠0，x≠0） 例1、判断是不是反比例函数？ y=（不是）； y=（是的，k=） 2、 求反比例函数的解析式 例1、 反比例函数经过点（2，4） 设反比例函数解析式y=，将（2，4）代入得 4=⇒k=8 ∴反比函数函数解析式为y= 例2、 反比例函数经过点（3，a），（1-a，4） 设反比例函数解析式为xy=k，将（3，a），（1-a，4）代入得 k=3a=4（1-a）⇒a= ∴k= ∴反比例函数解析式为y= 例3、若函数是关于的反比例函数，则 ． 是关于的反比例函数， ，且， ，且， ； 故答案为：． 3、反比例函数的图像 反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、三象限，或第二、四象限，它们关于原点对称。由于反比例函数中自变量x0，函数y0，所以，它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。 4、反比例函数的性质 反比例函数 y=（k≠0） k的符号 k＞0 k＜0 图像 性质1（对称性） （1） 反比例函数是中心对称图形，对称中心为原点 （2） 反比例函数是轴对称图形，对称轴是直线y=x或y=-x 性质2（增减性） 当k＞0时，在每个象限内，y随x的增大而减小（注意：在每个象限内一定要说，不说明就是错误的，可以换x＞0或x＜0也可以） 当k＜0时，在每个象限内，y随x的增大而增大 5、反比例函数中求取值范围（多画图不要直接解不等式容易出错） 例1、 已知函数y=-，当x＞1时，求y的取值范围____-1_＜x＜0______ 例2、 已知函数y=-，当y＞2时，求x的取值范围____-2_＜y＜0______ 6、 一次函数和反比例函数图像的分布 （1） 掌握一次函数k和b对图像的影响， （2） 掌握反比例函数k的正负图像的分布， （3） 假设一次函数图形是正确的，得到k和b的取值范围，去验证反比例函数的分布是否正确 例1、如图，函数与在同一坐标系中，图象只能是下列图中的（    ） A．  B．   C．  D．   【答案】B 7、反比例函数模型 ①k的几何意义 结论: S△AOB= 结论：S矩形ABOC= 变式： 结论：S△ABC=S△ABO= 结论：S△ABC=S△ABO= 结论：S△ABC= 结论：S△ABC=2 结论：S四边形ABCD= 结论：S四边形ABCD= 结论：S四边形ABCD= 结论：S四边形ADBC=2 结论：S四边形ADBC=2 结论：S△ABC= 结论：S四边形ABCD= 结论：S△AOB= 结论：S△ABC_= 结论：S△ABM= ②对称性 （1） 中心对称性：正比例函数和反比例函数有两个交点，如果A（a，b），那么B（-a，-b） （2）轴对称性：一次函数yBC=-x+b与反比例函数y=交于B、C两点，B、C两点关于直线y=x对称 ③三角形面积转四边形S△OAC=S四边形ABDC ④反比例函数和k字型全等、相似 （1） 过点A向x轴作垂线交于点C，过点B向x轴作垂线交于点D，易证△ACO∽△ODB （2） 若OA=OB,则△ACO≌△ODB ⑤一次函数和反比例函数（具体证明见⑥） （1）直线y=kx+b与双曲线y=及坐标轴顺次交于A,B,C,D,则AB=CD （2）AB∥CD1∥C2D2 ⑥反比例函数和矩形 设P（a，b）则B（，b），A（a，） （1） PA=b-= PB=a-= =×== （2） tan∠ABP== tan∠MNP= ∴∠ABP=∠MNP ∴AB∥MN （3） ∵AB∥MN，BN∥MF ∴四边形BNMF为平行四边形 ∴BN=MF ∵AB∥MN，EN∥AM ∴四边形AMNE为平行四边形 ∴EN=AM ∵∠BNE=∠FMA=90° ∴△BNE≌△FMA ∴BE=AF ⑦设点法 （1）知k，设成（a，） （2）不知k，设成（a，b）（注意：ab=k） （3）有中点，特殊点，设中点和特殊点