2024年中考数学专题复习：常见最值问题汇总（共18种）

中考数学最值问题汇总（18种） ①将军饮马 ②点到直线的距离垂线段最短 ③利用三角形三边关系求最值 ④过河拆桥 ⑤构建全等或相似 ⑥圆中最长的弦是直径 ⑦圆中特殊位置-相切 ⑧二次函数求最值问题 ⑨用根的判别式求最值 ⑩折叠中的最值问题 ⑪米勒最大角模型 ⑫定弦定角 ⑬瓜豆模型 ⑭胡不归模型 ⑮费马点 ⑯阿氏圆 ⑰基本不等式 ⑱探照灯模型（定角定高） ①将军饮马 PA+PBmin=BA' 理论：两点之间线段最短. 1．如图，在四边形ABDE中，C是BD边的中点，BD＝8，AB＝2，DE＝8．若∠ACE＝135°，则线段AE长度的最大值是 ． 【答案】10＋4 【详解】如图：作B关于AC的对称点F，D关于EC的对称点G， 连接AF， FC，CG，EG，FG，如图所示： ∵C是BD边的中点， ∴CB=CD=BD， ∵对称 ∴△ACB≌△ACF(SAS)， ∴CF=CB， ∴∠BCA=∠FCA， ∵对称 ∴△EGC≌△EDC(SAS)， ∴CD=CG， ∴∠DCE=∠GCE， ∵CB=CD， ∴CG=CF ∵∠ACE=135°， ∴∠BCA+∠DCE=180°-135°=45°， ∴∠FCA+∠GCE=45°， ∴ ∠FCG=90°， ∴△FGC是等腰直角三角形 ∴FC=BD=4， ∴FG=FC=， ∵AE=AB++DE， ∵AB=2，DE=8， ∴AE≤AF+FG+EG=10+， ∴当A、F、G、E共线时AE的值最大，最大值为10+， 故答案为：10+． 2.如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接．点M，N分别是的中点，连接，，，点E在边上，，则的最小值是（    ）    A． B．3 C． D． 【答案】C 【详解】解：四边形是矩形， ，， 点M，N分别是的中点， ，，，， ，， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 如图，作点C关于直线的对称点M，连接，，    则， 当点B，P，M三点共线时，的值最小，最小值为， 在中，，， ， 的最小值， 故选C． 3.如图，四边形的两条对角线，互相垂直，，，则的最小值是 ．    【答案】 【详解】解：设的交点为，的中点分别是，连接， 互相垂直， 和为直角三角形，且分别为斜边， ， ， 当最小时，最小，再根据“两点之间线段最短”得， 当点在线段上时，最小，最小值为线段的长， 分别为的中点， 是的中位线， ， 同理， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形， 在中，， ， 的最小值为， 的最小值为．    故答案为：． 4．如图，Rt△ABC≌Rt△FDE，∠ABC＝∠FDE＝90°，∠BAC＝30°，AC＝4，将Rt△FDE沿直线l向右平移，连接BD、BE，则BD+BE的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：建立如图坐标系， 在中，，，， ， ， 斜边上的高， ， ，斜边上的高为， 可以假设，则，， ， 欲求的最小值，相当于在轴上找一点，使得到，，的距离和的最小值，如图1中， 作点关于轴的对称点，连接交轴题意，连接，此时的值最小，最小值， 的最小值为， 故答案为：． ②点到直线的距离垂线段最短 PB＞PA 1．如图，在等边中，，P、M、N分别是、、边上动点，则的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：作点关于直线的对称点，交于点，作于，交于，则线段的长即为的最小值（垂线段最短）．    ∵是等边三角形， ∴，， ∵，关于对称， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点作，交于点， 则：， ∴，， ∴， 则的最小值是， 故答案是：． 2.如图，中，，，，若点、、分别是三边、、上的动点，则周长的最小值为 ． 解：如图，作关于的对称点M，作关于的对称点，连接，，交于，交于，作于，于． 由对称性可知：，，， 的周长， 当点固定时，此时的周长最小， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 当的值最小时，的值最小， ， ， ， ， 在中，，，， ， ， ， 根据垂线段最短可知：当与重合时，的值最小，最小值为， 的最小值为， 的周长的最小值为． ③三边形的三边关系求最值 b-a≤c≤b+a(三点共线取等号) 1.在求线段最值问题中，我们常通过寻找（或构造）待求线段的“关联三角形”来解决问题．“关联三角形”中除待求线段外的两条线段的长度是已知（或可求的），再利用三角形三边关系定理求解，线段取得最值时“关联三角形”不复存在（即三顶点共线）． 如图1，，矩形的顶点A，B分别在边，上，当B在边上运动时，A随之在边上运动，矩形的形状保持不变，其中，，运动过程中，点D到点O的最大距离是多少？ 分析：如图1，取的中点E，连接DE、OE，则中，为待求线段，，的长是可求的，即为待求线段的“关联三角形”，在中利用三角形三边关