18.2.3正方形(第1课时) 教 案2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.3　正方形（第1课时） 教学目标 1.会归纳正方形的特性并进行证明. 2.能运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明. 3.在比较、归纳、总结的过程中，进一步体会特殊与一般之间的辩证关系. 教学重难点 重点：归纳正方形的性质并运用正方形的性质定理进行简单的计算与证明. 难点：经历观察、实验、猜想、证明等活动，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力. 教学过程 导入新课 导入1： 师：（出示一块方巾）它是什么几何图形？ 生：正方形. 师：哪一位同学试着给出一些实物是正方形的形状的例子，或有关“正”“方”的词语？ 生：堂堂正正、端端正正、外圆内方、正大光明；地板砖、国际象棋棋盘的格子…… 师：同学们都说得非常好.正方形就是“端端正正”的图形，今天我们就从“理性”的角度来研究这个“端端正正”的图形的性质. 导入2： 复习回顾 1.矩形、菱形与平行四边形的关系（如图1所示）. 图1 2.怎样用一张矩形的纸片折出一个正方形？ 做一做：用一张矩形的纸片（如图2所示）折出一个正方形. 思考：矩形怎样变化后就成了正方形呢？ 　　　 图2　　　　 　　图3 3.怎样将一个菱形的木框变成一个正方形的木框？（如图3所示）（教师演示菱形教具） 思考：菱形怎样变化后就成了正方形呢？ 教师：今天我们探讨正方形的概念和性质. 探究新知 活动1：探究正方形的概念. 教师：经过同学们探究，我们发现（如图4所示）： 图4 正方形的概念：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形. 指出：正方形是在平行四边形这个大前提下定义的，其定义包括了两方面： （1）有一组邻边相等的平行四边形（菱形）； （2）有一个角是直角的平行四边形（矩形）. 启发学生：由矩形、菱形到正方形各需补充一个条件，进而完成正方形的定义. 前面我们学习过平行四边形、矩形、菱形，请同学们总结平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的关系.（如图5所示） 活动2：探究并证明正方形的性质. 教师：由正方形的定义可以得知，正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形.（如图6所示） 　图5　　　　　　　　　图6 教师：正方形既是特殊的矩形，又是特殊的菱形，所以正方形具有矩形的性质，同时又具有菱形的性质. 1. 正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 图7 已知：如图7所示，四边形ABCD是正方形. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 分析：因为正方形具有矩形和菱形的所有性质，所以结论易证. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 四边形ABCD既是矩形，也是菱形. ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 定理：正方形的四个角都是直角，四条边都相等. 几何语言：如图7， ∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°，AB＝BC＝CD＝DA. 2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 已知：如图8所示，四边形ABCD是正方形，AC，BD是它的两条对角线. 图8 求证：（1）AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO； （2）AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 分析：因为正方形具有矩形和菱形的所有性质，所以结论易证. 证明：∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ 四边形ABCD是矩形，也是菱形， ∴ AO＝CO，BO＝DO，AC＝BD，AC⊥BD，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 定理：正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角. 几何语言：如图8所示，∵ 四边形ABCD是正方形， ∴ AC＝BD，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，AC平分∠BAD，CA平分∠BCD，BD平分∠ABC，DB平分∠ADC. 3.正方形的对称性 教师：正方形既是特殊的平行四边形，又是特殊的矩形和菱形，所以正方形既是中心对称图形也是轴对称图形.它有四条对称轴（两条对角线所在的直线，两组经过对边中点的直线），对称轴通过对称中心，对称中心是对角线的交点. 学生小组讨论平行四边形、矩形、菱形、正方形的对称性（如图9所示）. 　 　 图9 4.正方形的面积 教师：如图8所示，怎样计算正方形的面积呢？ 学生：S正方形ABCD＝AB·BC＝AB2. 教师：计算正方形的面积除了上述方法外， 能不能利用菱形的面积公式进行计算？鼓励学生动脑思考，自己探究解答方法，不明白的可在小组内交流意见. 学生总结： S正方形ABCD＝S△ABD+S△BCD＝AC·BD， 即S正方形＝对角线乘积的一半. 学生讨论并完成下表： 性质 边 角 对角线 对称性 图形