18.2.1矩形(第2课时) 教 案2023-2024学年人教版八年级数学下册

第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1　矩形（第2课时） 教学目标 1.使学生能够掌握矩形判定定理的证明并会灵活运用. 2.经历探索、猜想、证明的过程，从中体会探索结论的思考方法，理解对猜想进行证明的必要性，不断感受合情推理是人们正确认识事物的重要途径. 3.逐步学会分析和综合的思考方法，培养学生演绎推理的能力. 教学重难点 重点：矩形的判定定理. 难点：矩形的判定及性质的综合应用. 教学过程 导入新课 1.什么叫做平行四边形？什么叫做矩形？ 2.矩形有哪些性质？ 3.矩形与平行四边形有什么共同之处？有什么不同之处？ 4.事例引入：小华想要做一个矩形相框送给妈妈做生日礼物，于是找来两根长度相等的短木条和两根长度相等的长木条制作，你有办法检测他做的相框是矩形吗？看看谁的方法可行. 学生讨论后导入新课. 探究新知 你能用现有的知识判定一个四边形是矩形吗？ 1.根据定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形. 图1 几何语言：如图1所示. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∠B＝90°， ∴ 四边形ABCD是矩形. 注意：该判定的条件有两个： （1）平行四边形；（2）有一个角是直角. 还有没有其他的方法把一个平行四边形或四边形变成矩形呢？ 2.情境一：李芳同学用四步画出了一个四边形，她的画法是“边——直角、边——直角、边——直角、边”，这样，她说这就是一个矩形.她的判断对吗？为什么？ 学生猜想：有三个角是直角的四边形是矩形. 教师：你能证明上述结论吗？ 已知：如图1所示，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°. 求证：四边形ABCD是矩形. 证明：∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°， ∴ ∠A+∠B＝180°，∠B+∠C＝180°， ∴ AD∥BC，AB∥CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ 四边形ABCD是矩形. 矩形的判定1：有三个角是直角的四边形是矩形. 几何语言：如图1所示. ∵ ∠A＝∠B＝∠C＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形. 注意：判定一个四边形是矩形，知道三个角是直角，条件就够了.因为由四边形的内角和可知，这时第四个角一定是直角. 3.情境二：如图2所示，工人师傅为了检验两组对边相等的四边形窗框是不是矩形，一种方法是量一量这个四边形的两条对角线长度，若对角线长相等，则窗框一定是矩形，你知道为什么吗？ 　　　　 图2　　　　　　　　　图3 学生猜想：对角线相等的平行四边形是矩形. 教师：你能证明上述结论吗？ 已知：如图3所示，四边形ABCD是平行四边形，AC＝BD.求证：四边形ABCD是矩形. 证明：在ABCD中，AB＝DC，BD＝AC，AD＝DA， ∴ △BAD≌△CDA（SSS），∴ ∠BAD＝∠CDA. ∵ AB∥CD，∴ ∠BAD+∠CDA＝180°， ∴ ∠BAD＝90°，∴ 四边形ABCD是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）. 矩形的判定2：对角线相等的平行四边形是矩形. 几何语言：如图3所示. 在ABCD中，∵ AC＝BD，∴ ABCD是矩形. 注意定理条件：（1）平行四边形；（2）对角线相等. 新知应用 例1　如图4所示，在ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA＝OD，∠OAD＝50°.求∠OAB的度数. 分析：首先根据平行四边形对角线互相平分的性质及OA＝OD判定四边形ABCD是矩形，再利用矩形的性质，得到∠OAB的度数. 图4 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD. ∵ OA＝OD，∴ AC＝BD. ∴ 四边形ABCD是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）. ∴ ∠DAB＝90°. 又∵ ∠OAD＝50°，∴ ∠OAB＝40°. 图5 例2　已知：如图5所示，ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E，F，G，H.求证：四边形EFGH是矩形. 分析：要证四边形EFGH是矩形，可选用“有三个角是直角的四边形是矩形”来证明. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形，∴ AD∥BC， ∴ ∠DAB+∠ABC＝180°. 又AE平分∠DAB，BG平分∠ABC， ∴ ∠EAB+∠ABG＝×180°＝90°. ∴ ∠AFB＝90°. 同理可证∠AED＝∠BGC＝∠CHD＝90°. ∴ ∠EFG＝∠FGH＝∠FEH＝90°， ∴ 四边形EFGH是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.A　2.A 3.（1）∠B＝90°（答案不唯一） （2）AC＝BD（答案不唯一） 4.证明：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ ∠B＝∠D，AB＝CD，AD∥BC. ∵ AE⊥BC，CF⊥AD. ∴ ∠AEB＝∠AEC＝∠CFD＝AFC＝90°， 在△ABE和△CDF