18.2.1矩形(第1课时) 教学详案 2023—2024学年人教版数学八年级下册

第十八章 平行四边形 18.2 特殊的平行四边形 18.2.1　矩形（第1课时） 教学目标 1.掌握矩形的定义和性质，理解矩形与平行四边形的区别与联系，会进行相关的推理. 2.会初步运用矩形的定义和性质来解决有关问题. 3.能推出直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质. 教学重难点 重点：矩形的性质. 难点：矩形的性质的灵活运用. 教学过程 导入新课 导入1： 师：前面我们学习了平行四边形，请同学们回忆平行四边形有哪些性质. 教师提示：从边、角、对角线的方面考虑. 学生思考回答. 平行四边形的对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分. 师：对于一类几何图形的研究，我们往往按照从一般到特殊的思路进行，比如研究三角形时，我们先研究一般三角形，再将三角形的有关要素特殊化，我们研究了把边特殊化得到的等腰三角形、把角特殊化得到的直角三角形，对于平行四边形的研究，我们也可以按照这个思路进行. 把平行四边形的一个角特殊化成直角，我们得到一个什么样的图形呢？ 教师画图（板演）引入. 导入2： 教学时让一名学生台前演示，教师发指令，学生按指令完成动作. 教师指令：（1）请举起手中的平行四边形，另一名学生说出此图形的性质. （2）给学生演示，根据四边形的不稳定性，轻轻拉动一个点，观察在拉动过程中，它一直是一个平行四边形吗？为什么？ （3）再次演示平行四边形的变动过程，当变动到一个角是直角时停止，让学生观察这是什么图形（如图1所示），引出本课题及矩形定义. 图1 探究新知 图2 活动1：矩形的定义. 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形（通常也叫长方形）（如图2所示）. 活动2：矩形的性质. （1）猜想矩形的性质 教师：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，由于它有一个角为直角，所以它应该还有哪些一般平行四边形不具有的性质呢？ 对于矩形我们仍然从它的边、角和对角线等方面进行研究.鼓励学生大胆说出猜想，展现自我. 学生猜想1：矩形的四个角都是直角. 学生猜想2：矩形的对角线相等. （2）证明学生对矩形性质的猜想，得到矩形的性质 教学时要对矩形的性质做板书，多媒体展示性质，让学生理解记忆矩形的性质，并和平行四边形的性质作比较. 猜想1：矩形的四个角都是直角. 分析：由矩形的定义，利用平行四边形对角相等、邻角互补可使问题得证. 在学生独立完成的基础上，小组内进行交流讨论，最后在教师的启发与引导下得出正确的结论. 图3 已知：如图3所示，四边形ABCD是矩形. 求证：∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 不妨设∠A＝90°， ∴ ∠C＝∠A＝90°，∠B＝180°-∠A＝90°，∠D＝180°-∠A＝90°， 即矩形的四个角都是直角. 几何语言：如图3所示. ∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°. 猜想2：矩形的对角线相等. 图4 已知：如图4所示，AC，BD是矩形ABCD的对角线. 求证：AC＝BD. 分析：可根据矩形的性质，通过证明三角形全等（SAS）来证明线段相等. 证明：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AB＝DC，∠ABC＝∠DCB＝90°. 又∵ BC＝CB，∴ △ABC≌△DCB（SAS）. ∴ AC＝DB. 几何语言：如图4所示. ∵ AC，BD是矩形ABCD的对角线，∴ AC＝BD. （3）探究直角三角形的一个特性 图5 如图5所示，在矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，我们观察Rt△ABC，BO是斜边AC上的中线，BO与AC有什么关系？ 根据矩形的性质，我们知道BO＝BD＝AC.因此，我们得到直角三角形的一个性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半. 几何语言：如图6所示. 在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线， ∴ CD＝AB. 　 图6　　　　　　　图7 （4）探索矩形的对称性 矩形是轴对称图形吗？对称轴有几条？矩形是中心对称图形吗？ 矩形既是轴对称图形，也是中心对称图形.对称轴是经过对边中点的直线（2条），对称中心是对角线的交点（如图7所示）. 新知应用 图8 例1　如图8所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，∠AOB＝60°，AB＝4.求矩形对角线的长. 分析：因为矩形是特殊的平行四边形，所以它具有对角线相等且互相平分的性质，根据矩形的这个特性和已知，可得△OAB是等边三角形，因此对角线的长度可求. 解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ AC与BD相等且互相平分，∴ OA＝OB. 又∵ ∠AOB＝60°，∴ △OAB是等边三角形， ∴ OA＝AB＝4，∴ AC＝BD＝2OA＝2×4＝8. 小结：若矩形两条对角线的夹角是60°，则其中必有等边三角形. 图9 例2　已知：如图9所示，在矩形