18.1.2平行四边形的判定(第2课时) 教 案2023-2024学年人教版八年级 数学下册

第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.2　平行四边形的判定（第2课时）教学目标 1.掌握由一组对边平行且相等来判定平行四边形的方法. 2.会综合运用平行四边形的判定方法和性质来解决问题. 3.通过对平行四边形的性质与判定方法的应用，启迪学生的思维，提高分析问题的能力. 教学重难点 重点：平行四边形的各种判定方法及其应用，尤其是根据不同条件能正确地选择判定方法. 难点：平行四边形的判定定理与性质定理的综合运用. 教学过程 导入新课 1.平行四边形的性质 平行四边形的对边相等；平行四边形的对角相等；平行四边形的对角线互相平分. 2.我们上节课学习的平行四边形的判定方法有哪些？ 平行四边形的判定方法1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定方法2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形. 平行四边形的判定方法3：对角线互相平分的四边形是平行四边形. 探究新知 教师：我们知道两组对边分别平行或相等的四边形是平行四边形.请同学们猜想一下，如果只考虑四边形的一组对边，当它满足什么条件时这个四边形才是平行四边形呢？ 学生活动：以小组讨论的形式探讨这一问题. 问题1：一组对边平行的四边形是平行四边形吗？如果是，请给出证明；如果不是，请举出反例说明. 学生：小学学习过的梯形满足一组对边平行的条件，但梯形不是平行四边形. 问题2：满足一组对边相等的四边形是平行四边形吗？ 学生：如图1所示，这个四边形EFGH满足一组对边EF，HG相等的条件，但它不是平行四边形. 　　 图1　　　　 　　图2 问题3：请你猜想“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”这个命题成立吗？ 学生活动： 如图2所示，取两根等长的木条AB，CD，将它们平行放置，再用两根木条BC，AD加固，得到的四边形ABCD是平行四边形吗？ 请你将上述命题改写成已知、求证，并画出图形，然后思考如何证明. 图3 已知：如图3所示，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD. 求证：四边形ABCD是平行四边形. 师生共同分析：要证明四边形ABCD是平行四边形，可证明两组对边分别相等或平行，通过作辅助线，用全等三角形来证明两组对边相等或平行. 证明：（方法1）如图3所示，连接AC. ∵ AB∥CD，∴ ∠1＝∠2. ∵ AB＝CD，AC＝CA， ∴ △ABC≌△CDA（SAS）.∴ BC＝DA. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. （方法2）如图3所示，连接AC. ∵ AB∥CD，∴ ∠1＝∠2. 又∵ AB＝CD，AC＝CA，∴ △ABC≌△CDA. ∴ ∠BCA＝∠DAC，∴ AD∥BC. ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 师生总结： 平行四边形的判定定理：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形. 几何语言：（如图3所示） 在四边形ABCD中， ∵ AB∥CD，AB＝CD， ∴ 四边形ABCD是平行四边形. 图4 教师强调：同一组对边平行且相等. 新知应用 例1　如图4所示，在ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，求证：BE＝DF. 分析：证明BE＝DF，可以证明四边形BEDF是平行四边形，也可以证明两个三角形全等，比一比，哪一种方法更简单. 证明：（方法1）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC，AD＝BC. ∵ E，F分别是AD，BC的中点，∴ DE∥BF，且DE＝AD，BF＝BC.∴ DE＝BF. ∴ 四边形BEDF是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）. ∴ BE＝DF. （方法2）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C. ∵ E，F分别是AD，BC的中点， ∴ AE＝AD，CF＝BC，∴ AE＝CF. ∴ △ABE≌△CDF.∴ BE＝DF. 图5 例2　如图5所示，E，F是四边形ABCD的对角线AC上两点，AF＝ CE，DF＝BE，DF∥BE.求证： （1）△AFD≌△CEB； （2）四边形ABCD是平行四边形. 分析：（1）利用两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等证明△AFD≌△CEB.（2）（方法1）由△AFD≌△CEB得AD＝BC且AD∥BC，根据“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”证明.（方法2）由△AFD≌△CEB得AD＝BC.由△CDF≌△ABE得AB＝CD.根据“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”证明.（方法3）如图6所示，连接DB交AC于点O，连接DE，BF.先证四边形DEBF是平行四边形，得OB＝OD，OE＝OF.由AF＝CE得OA＝OC，根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明. 证明：（1）∵ DF∥BE，∴ ∠DFE＝∠BEF. 又∵ AF＝CE，DF＝BE，∴ △AFD≌△CEB （SAS）. （2）（方法1）由（1）知△AFD