专题13.1 复数-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题13.1 复数 【核心素养】 1.通过方程的解，认识复数，凸显数学抽象的核心素养． 2.结合复数的代数表示及其几何意义，考查复数的实部、虚部，共轭复数，复数的模等概念的认识，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养． 3.结合复数的运算法则，考查复数的加、减、乘、除运算，凸显数学运算的核心素养． 知识点一 复数的概念 1.虚数单位为i，规定：i2＝-1，且实数与它进行四则运算时，原有的加法、乘法的运算律仍然成立． 2.复数的概念 形如：a＋bi(a，b∈R)的数叫复数，其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． ①当b＝0时，复数a＋bi为实数； ②当b≠0时，复数a＋bi为虚数； ③当a＝0且b≠0时，复数a＋bi为纯虚数． 3.复数相等的充要条件 a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔ a＝c且b＝d，特别地，a＋bi＝0⇔ a＝b＝0. 4.共轭复数：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数，复数z的共轭复数记作． 5. 复数的模 向量的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模，记作|z|或.即＝＝r＝ (r≥0，r∈R)． 知识点二 复数的几何意义 1.z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面上的点Z(a，b)、平面向量都可建立一一对应的关系(其中O是坐标原点)． 2.复平面内，实轴上的点都表示实数；虚轴上的点除原点外都表示纯虚数． 知识点三 复数的四则运算 1.复数的加、减、乘、除的运算法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则 (1)z1±z2＝(a±c)＋(b±d)i； (2)z1·z2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i； (3) (z2≠0)． 2. . 知识点四 共轭与模是复数的重要性质 运算性质有： (1)；(2)；(3)；(4)； (5)；(6). 常考题型剖析 题型一： 复数的代数运算 【典例分析】 例1-1．（2023·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C．0 D．1 例1-2.（2021·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算． 2.复数的除法运算是分子、分母同乘以分母的共轭复数，即分母实数化． 3.在含有z，z，|z|中至少两个的复数方程中，可设z＝a＋bi，a，b∈R，变换方程，利用两复数相等的充要条件得出关于a，b的方程组，求出a，b，从而得出复数z. 4.注意应用：①(1±i)2＝±2i；②＝i,＝－i. 【变式训练】 变式1-1.（2023·全国·统考高考真题）（    ） A．1 B．2 C． D．5 变式1-2.（2023·全国·统考高考真题）（    ） A． B．1 C． D． 题型二：复数的概念与性质 【典例分析】 例2-1.（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）已知，则的虚部为（    ）． A． B． C． D． 例2-2.（2023上·江苏淮安·高三校考阶段练习）若复数满足为纯虚数，则（    ） A．-3 B． C．－ D．3 【总结提升】 复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关，所以解答与复数相关概念有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解． 【变式训练】 变式2-1.（2022上·贵州黔东南·高三校考期末）复数（i为虚数单位）的实部与虚部互为相反数，则实数a的值为（    ） A．－2 B．－1 C．1 D．2 变式2-2.（2024上·安徽·高三校联考阶段练习）已知复数满足（其中为虚数单位），则复数的实部与虚部的和为（    ） A． B．1 C．-1 D．-2 题型三： 复数的相等及其应用 【典例分析】 例3-1.（2023·全国·统考高考真题）设，则（    ） A．-1 B．0          · C．1 D．2 例3-2.（2022·全国·统考高考真题）已知，且，其中a，b为实数，则（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 a＋bi＝c＋di⇔a＝c，b＝d，其中a，b，c，d∈R 【变式训练】 变式3-1.（2021·全国·统考高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 变式3-2.（2023上·陕西西安·高三统考阶段练习）已知，，且，则（    ） A． B．2 C． D．10 题型四： 求复数的模 【典例分析】 例4-1．（2022·全国·统考高考真题）若．则（    ） A． B． C． D． 例4-2.（2023上·云南曲靖·高三曲靖一中校考阶段练习）若，其中是虚数单位，且，设，则为（    ） A．2 B． C．6 D． 【规律方法】互为共轭复数的两