专题12.4 正态分布-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题12.4 正态分布 【核心素养】 1.考查正态分布的特征、正态分布的均值、方差及其含义，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养． 2.通过考查实际决策问题的解答，凸显直观想象、数学运算、数学建模的核心素养． 知识点一 随机变量X的概率分布密度函数 f(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数知识点二 正态曲线及其性质 1.正态曲线： 函数φμ，σ(x)＝·e，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ，σ(σ>0)为参数，我们称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线． 2.正态曲线的性质： ①曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称； ②曲线在x＝μ处到达峰值； ③当|x|无限增大时，曲线无限接近x轴． ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移，如图甲所示； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越大，曲线越“矮胖”，总体分布越分散；σ越小．曲线越“瘦高”．总体分布越集中，如图乙所示： 　 甲　　　　　　　　　　　乙 知识点三 正态分布 1.定义：若随机变量X的概率分布密度函数为f(x)＝·e，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)，μ=0，σ=1时，称之为标准正态分布. 2.3σ原则 ①P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.682 7； ②P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.954 5； ③P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.997 3. 3.正态分布的均值与方差 若X～N(μ，σ2)，则E(X)＝μ，D(X)＝σ2. 常考题型剖析 题型一： 密度曲线函数与正态曲线 【典例分析】 例1-1．（2021·全国·统考高考真题）某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（    ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 例1-2.（2021下·湖南·高三校联考阶段练习）已知连续型随机变量Xi~N(ui，σi2)(i=1，2，3)，其正态曲线如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ1) B．P(X2≥μ2)>P(X3≥μ3) C．P(X1≤μ2)<P(X2≤μ3) D．P(μi﹣2σi≤Xi≤μi+2σi)=P(μi+1﹣2σi+1≤Xi+1≤μi+1+2σi+1)(i=1，2) 【规律方法】 1.求正态曲线的两个方法 (1)图解法：明确顶点坐标即可，横坐标为样本的均值μ，纵坐标为． (2)待定系数法：求出μ，σ便可． 2.利用正态曲线解题的关键是，利用对称性把待求区间内的概率向已知区间内的概率转化. 解题时要充分结合图形进行分析、求解，要注意数形结合思想及化归思想的运用. 【变式训练】 变式1-1.（2008·安徽·高考真题）设两个正态分布和的密度函数图像如图所示．则有 A． B． C． D． 变式1-2.（2015·湖北·高考真题）设，，这两个正态分布密度曲线如图所示．下列结论中正确的是（ ） A． B． C．对任意正数， D．对任意正数， 题型二：区间上的概率计算 【典例分析】 例2-1.（2015·山东·高考真题）已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布，从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为 （附：若随机变量ξ服从正态分布 ，则 ， ．） A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74% 例2-2.（2022·全国·统考高考真题）已知随机变量X服从正态分布，且，则 ． 【规律方法】 正态总体在某个区间内取值概率的求解策略 (1)充分利用正态曲线对称性和曲线与x轴之间面积为1． (2)熟记P(μ－σ<X≤μ＋σ)，P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)，P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)的值． (3)注意概率值的求解转化： ①P(X<a)＝1－P(X≥a)； ②P(X<μ－a)＝P(X≥μ＋a)； ③若b<μ，则P(X<b)＝． 特别提醒：正态曲线，并非都关于y轴对称，只有标准正态分布曲线才关于y轴对称． 【变式训练】 变式2-1.（2023上·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）已知随机变量服从正态分布，如果，则（    ） A．0.3413 B．0.6826 C．0.1581 D．0.0794 变式2-2.（2023·全国·模拟预测）研究人员在调查某园区内种植的某种植物的株高时，发现株高（单位：）服从正态分布，若，则在该园区内随机抽取一株这种植物，株高超过的概率约为 ． 题型三： 正态分布的期望、方差问题 【典例分析】 例3-1.（20