专练09 数学的应用--概率统计考查的二十个热点-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专练09 数学的应用--概率统计考查的二十个热点 热点题型速览 热点一 排列、组合问题 1．（2023·全国·统考高考真题）现有5名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这5人中安排2人参加公益活动，则恰有1人在这两天都参加的不同安排方式共有（    ） A．120 B．60 C．30 D．20 2.（2023·全国·统考高考真题）某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有 种（用数字作答）． 【点评】 1.有约束条件的排列问题一般有以下几种基本类型与方法：①特殊元素优先考虑；②对于相邻问题采用“捆绑法”，整体参与排序后，再考虑“捆绑”部分的排序；③对于不相邻问题，采用“插空”法，先排其他元素，再将不相邻元素插入空档；④搞清楚“间隔排列”与“不相邻”的区别；⑤“分排”问题“直排化”处理；⑥对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后再除以定序元素的全排列数. 2.解组合问题时要注意：①分类时不重不漏；②注意间接法的使用，在涉及“至多”“至少”等问题时，多考虑用间接法(排除法). 3.“球”与“盒”模型的解题策略：(1)明确球与盒放入个数的具体要求；(2)球的编号与盒的编号的要求；(3)明确“隔板法”的应用前提，是将“相同元素”隔开，计算“相同元素”的分隔情况，解题时要慎之又慎. 热点二 排列与组合的综合问题 3．（2023·全国·统考高考真题）甲乙两位同学从6种课外读物中各自选读2种，则这两人选读的课外读物中恰有1种相同的选法共有（    ） A．30种 B．60种 C．120种 D．240种 4.（2023上·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）将甲，乙，丙，丁，戊五名志愿者安排到四个社区进行暑期社会实践活动，要求每个社区至少安排一名志愿者，那甲恰好被安排在社区的不同安排方法数为（    ） A．24 B．36 C．60 D．96 热点三 排列、组合与古典概型 5．（2023·全国·统考高考真题）某校文艺部有4名学生，其中高一、高二年级各2名．从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演，则这2名学生来自不同年级的概率为（    ） A． B． C． D． 6.（2019·广东惠州·高三统考阶段练习）我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“任何一个大于的偶数都可以写成两个素数的和”，如.在不超过的素数中，随机选取个不同的数，其和等于的概率是(注：若一个大于的整数除了和它本身外无其他因数，则称这个整数为素数)（    ） A． B． C． D． 【点评】 古典概型概率的计算问题，往往与数学文化、现代科技、社会生活等相结合，解题的关键是计算基本事件数，常与简单排列、组合问题综合考查． 热点四 求二项展开式特定项（系数） 7．（2023年北京高考专题）的展开式中的系数为（    ）． A． B． C．40 D．80 8.（2023·全国·校联考模拟预测）在的展开式中常数项为（    ） A．721 B．-61 C．181 D．-59 9．（2022·全国·统考高考真题）的展开式中的系数为 （用数字作答）． 【点评】 1.求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略：①求展开式中的特定项，可依据条件写出第k＋1项，再由特定项的特点求出k值即可；②已知展开式的某项，求特定项的系数，可由某项得出参数值，再由通项写出第k＋1项，由特定项得出k值，最后求出其系数. 注意“二项式系数”与“项的系数”的区别，不能混淆． 2.某些三项或三项以上的展开问题，根据式子的特点，可通过变形转化为二项式，再用二项式定理求解. 转化的方法通常为配方、因式分解. 3.求三项展开式中某些特定项的系数的方法：①两次利用二项式定理的通项公式求解；②由二项式定理的推证方法知，可用排列、组合的基本原理去求，即把三项式看作几个因式之积，要得到特定项看有多少种方法从这几个因式中取因式中的量. 热点五 二项展开式系数问题 10.（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式，则 ， ． 11.（2023上·新疆乌鲁木齐·高三兵团二中校考阶段练习）二项式 的各项系数之和为，则展开式中常数项为 . 【点评】 1.①“赋值法”普遍运用于恒等式，是一种处理二项式相关问题比较常用的方法. 对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b，c∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可. ②若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系