安徽省怀宁县高河中学2023-2024学年高二上学期第三次月考数学试题

2023年秋高河中学高二第三次月考数学试题 时间：120分钟 满分：150分 命卷人：苏毛尒 一、选择题（每小题5分，共8小题40分） 1. 平面的一个法向量，如果直线⊥平面，则直线的单位方向向量（　） A. B. C. D. 2. 若直线与的交点在第一象限内,则的取值范围是( ) A. B. C. D. 3. 已知数列中,,,则等于( ) A. 6 B. -6 C. 3 D. -3 4. 过双曲线的右焦点作直线交双曲线于，两点，若，则这样的直线有（ ） A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 5. 已知圆的方程，若抛物线过点，且以圆的切线为准线，则抛物线的焦点轨迹方程是( ) A. B. C. D. 6. 双曲线的渐近线与圆相切，则等于（ ）。 A. B. C. D. 7. 如果一个等差数列前项的和为，最后项的和为，且所有项的和为，则这个数列有( ) A. 项 B. 项 C. 项 D. 项 8. 如图,棱长为的正四面体的三个顶点,,分别在空间直角坐标系的坐标轴,,上,则定点的坐标为( )        A. B. C. D. 二、多选题（每小题5分，共4小题20分） 9. 若直线经过椭圆的一个焦点和一个顶点,则该椭圆的方程为( ) A. B. C. D. 10. 已知直线与直线之间的距离为,则( ) A. B. C. D. 11. 已知直线被圆截得的弦长为,点是直线上的任意一点,则的值有可能为( ) A. B. 1 C. 2 D. 3 12. 设数列的前项和为,则关于数列下列说法正确的是( ) A. 若,则既是等差数列又是等比数列 B. 若,则是等差数列 C. 成等差数列的充要条件是 D. 若是等差数列,则也成等差数列 三、填空题（每小题5分，共4小题20分） 13. 等差数列与等差数列都有项，那么这两个数列相同的项共有__________项． 14. 若直线与圆没有公共点，则实数的取值范围是__________． 15. 等差数列中，其前项和为100，其前项和为500，则其前项和为__________. 16. 已知为抛物线:的焦点,过作两条互相垂直的直线,,直线与交于、两点,直线与交于、两点,则的最小值为__________. 四、解答题（第17题12分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题10分，共6小题70分） 17. 如果以，，试写出数列的前项，并猜想出它的一个通项公式． 18. 如图，正方体中，为中点，为正方形的中心.        （1）求直线与平面所成角的正切值；        （2）求异面直线与所成角的余弦值．        19. 双曲线的中心在原点，右焦点为，渐近线方程为．        （1）求双曲线的方程；        （2）设直线：与双曲线交于、两点，问：当为何值时，以AB为直径的圆过原点. 20. 如图，四棱锥中，底面，，，，.        (1)求证：平面；        (2)若二面角的余弦值为，求点到平面的距离． 21. 已知数列的前项和为,首项为,且4,,成等差数列.        (1)求数列的通项公式;        (2)若,求数列的前项和. 22. 已知椭圆()的焦距为,点在椭圆上,直线与椭圆交于,两点,为坐标原点,.        (1)求椭圆的方程;        (2)求面积的最大值. 高二第三次月考数学答案 1-8：BBDCC, AAA 9.AC 10.BC 11.BCD 12.BCD 13. 20 14. ． 15. 1200 16. 17. ，，， 【解析】∵，，        ∴，得，        同理：，，        ∴. 18.（1）；        （2）. 【解析】解法一：（1）取中点，连结，设正方体棱长为．               ∵为中心，为中点．        ∴平面，，．        ∴为直线与平面所成角，且．        ∴．        （2）取中点，连接，，则，且．              ∴四边形为平行四边形．        ∴．        ∴为异面直线与所成角．        ∵．        ∴中，由余弦定理得.        解法二：设正方体棱长为，        以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．               则，，，，，．        （1），，且为平面的法向量．