第三章 圆锥曲线的方程 检测练习-2023-2024学年高二上学期数学（人教A版2019）选择性必修第一册

第三章 圆锥曲线的方程 检测练习_ 一、单选题 1．已知双曲线：（，）的一条渐近线与直线的夹角为60°，若以双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为，则双曲线的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知双曲线的焦点为，，点在双曲线上，且轴，则到直线的距离为(　　) A． B． C． D． 3．已知双曲线过点，渐近线为，则双曲线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．椭圆与的（    ） A．长轴的长相等 B．短轴的长相等 C．离心率相等 D．焦距相等 5．青花瓷是中华陶乲烧制工艺的珍品，属秞下彩瓷.一只内壁光滑的青花瓷大碗水平放置在桌面上，瓷碗底座高为，碗口直径为，碗深.瓷碗的轴截面轮廓可以近似地看成抛物线，碗里有一根长度为的筷子，筷子过瓷碗轴截面轮廓曲线的焦点，且两端在碗的内壁上.则筷子的中点离桌面的距离为（    ）      A． B． C． D． 6．三等分角是“古希腊三大几何问题”之一，数学家帕普斯巧妙地利用圆弧和双曲线解决了这个问题．如图，在圆D中，为其一条弦，，C，O是弦的两个三等分点，以A为左焦点，B，C为顶点作双曲线T．设双曲线T与弧的交点为E，则．若T的方程为，则圆D的半径为（    ） A． B．1 C．2 D． 7．椭圆的焦距为2c，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为c，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 8．已知双曲线1（a＞0，b＞0），过原点的一条直线与双曲线交于A，B两点，点F为双曲线的右焦点，且满足AF⊥BF，设∠ABF，则该双曲线离心率e的值为（    ） A．2 B． C．2 D． 二、多选题 9．设．若，则（    ） A． B． C． D． 10．已知双曲线的左、右焦点分别为，，那么下列说法中正确的有（    ） A．若点在双曲线上，则 B．双曲线的焦点均在以为直径的圆上 C．双曲线上存在点，使得 D．双曲线上有8个点，使得△是直角三角形 11．已知为双曲线上一点，，，令，，下列为定值的是（    ） A． B． C． D． 12．已知是椭圆的两个焦点，点在上，，则（    ） A．的周长为6 B．的面积为 C．内切圆的半径为 D． 三、填空题 13．设为椭圆：和双曲线：的一个公共点，且在第一象限，是的左焦点，则 . 14．能说明“若，则方程表示的曲线为焦点在y轴上且渐近线方程为的双曲线”的一组m，n的值是 . 15．已知焦点在x轴上的双曲线的两条渐近线互相垂直，则 . 16．双曲线的焦距是 . 四、解答题 17．为抛物线上一点，过作两条关于对称的直线分别交于两点． (1)求的值及的准线方程； (2)判断直线的斜率是否为定值？若是，求出定值；若不是，请说明理由． 18．经过抛物线焦点的直线交该抛物线于两点． (1)若直线的斜率是，求的值； (2)若是坐标原点，求的值． 19．在平面直角坐标系xOy中，已知动点P到的距离比它到直线的距离小1. (1)求动点P的轨迹C的方程； (2)过点F的直线与曲线C交于A，B两点，，记直线QA，QB的斜率分别为，，求证：为定值. 20．已知，是曲线上任意一点，动点满足. （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的直线交于，两点，过原点与点的直线交直线于点，求证：. 21．如图所示，B地在A地的正东方向4 km处，C地在B地的北偏东30°方向2 km处，河流的沿岸PQ（曲线）上任意一点到A的距离比到B的距离远2 km．现要在曲线PQ上选一处M建一座码头，向B，C两地转运货物．经测算，从M到B，C两地修建公路的费用都是a万元/km，求修建这两条公路的最低总费用． 22．已知双曲线的右焦点为，实轴长为. (1)求双曲线的标准方程; (2)过点 ，且斜率不为0的直线 与双曲线 交于 两点， 为坐标原点，若 的面积为，求直线的方程. 参考答案： 1．A 【分析】由双曲线方程写出渐近线方程，根据题设有，，即可求参数a、b，进而写出双曲线方程. 【详解】由题意知：双曲线的渐近线方程为，而一条渐近线与直线的夹角为60°， ∴一条渐近线与轴的夹角为30°，即， ∵双曲线的实轴和虚轴为对角线的四边形周长为8， ∴，即，而， ∴，即双曲线的标准方程为. 故选：A. 2．C 【详解】. 3．D 【分析】首先利用双曲线共渐近线方程为再代入点，求双曲线方程. 【详解】由已知设双曲线的方程为将代入得，故双曲线方程为 故选：D 4．D 【分析】分别求出两个椭圆的长轴长，短轴长，焦距和离心率即可得到答案． 【详解】椭圆的焦点在上， 则长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 椭圆的焦点在上， 则长轴长为，短轴长为，焦距为，离心率为， 所以两椭圆的焦距相等． 故选：D． 5．B