北京市丰台区2023-2024学年高二上学期期末数学模拟练习试卷

丰台区2023-2024学年度第一学期期末模拟练习高二数学 考试时间：120分钟 考试分值：150分 第I卷（共40分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题所列出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的） 1．抛物线的准线方程是（    ） A． B． C． D． 2．已知空间向量，若，则（    ） A． B．3 C． D．2 3．已知直线过点、，则直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 4．已知数列是等差数列，且，则 （   ） A．4 B．6 C．8 D．10 5．已知是数列的前项和，则“是递增数列”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．圆上的点到直线距离的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 7．直线与直线平行，则实数a的值是（    ） A． B．1 C．或1 D．或2 8．已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点A到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 9．已知四面体是的重心，若，则（    ） A．4 B． C． D． 10．已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（     ） A． B． C． D． 第II卷（共110分） 二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。 11．两平行线与间的距离为 ． 12．已知数列的前项和为，则 ． 13．已知点，直线：，则点关于直线的对称点的坐标为 . 14．设为抛物线的焦点，点A在上，点，则的坐标为 ；若，则 . 15．关于曲线，下列结论正确的有 ①．曲线C关于原点对称 ②．曲线C与直线有四个交点 ③．曲线C是封闭图形，且封闭图形的面积大于 ④．曲线C不是封闭图形，且它与圆无公共点 三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 16．（满分13分）已知数列的前项和为，， 从条件①、条件②和条件③中选择两个能够确定一个数列的条件，并完成解答． （条件①：；      条件②：；    条件③：.） 选择条件　　　　和　　　　　． (1)求数列的通项公式； (2)设数列满足，并求数列的前项的和 17．（满分14分）已知点是抛物线上的动点，过点向轴作垂线段，垂足为，垂线段中点为，设的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)设过点且斜率为1的直线交曲线于，两点，为坐标原点，求的面积. 18．（满分13分）已知圆的圆心在轴上，且经过和两点. (1)求圆的方程； (2)过点的直线被圆截得的弦长为6，求直线的方程. 19．（满分15分）如图所示，在四棱锥中，底面为直角梯形，∥、、、，、分别为、的中点，． (1)证明：平面平面； (2)若与所成角为，求二面角的余弦值． 20．（满分15分）定义椭圆C：上的点的“圆化点”为．已知椭圆C的离心率为，“圆化点”D在圆上． (1)求椭圆C的方程； (2)设椭圆C的左顶点为A，不过点A的直线l交椭圆C于M，N两点，点M，N的“圆化点”分别为点P，Q．记直线l，AP，AQ的斜率分别为k，，，若，则直线l是否过定点？若直线l过定点，求定点的坐标；若直线l不过定点，说明理由． 21．（满分15分）数列：，，…，满足：，，或1（，2，…，），对任意i，j，都存在s，t，使得，其中且两两不相等． (1)若，直接写出下列三个数列中所有符合题目条件的数列的序号： ①1，1，1，2，2，2；②1，1，1，1，2，2，2，2；③1，1，1，1，1，2，2，2，2 (2)记，若，证明：； (3)若，求n的最小值． 答案解析 1．A 【详解】由，即得，所以即，所以准线方程为.故选：A. 2．A 【详解】由题意可得，因为，所以，解得. 故选：A. 3．A 【详解】因为直线过点、， 所以直线斜率为. 设直线的倾斜角为，，所以，即.故选：A. 4．C 【详解】由题设，故.故选：C 5．B 【详解】当是递增数列，则，则， 但是的符号不确定，故充分性不成立； 当时，则，故是递增数列，即必要性成立； 综上，“是递增数列”是“”的必要不充分条件.故选：B. 6．A 【详解】圆的标准方程为， 所以圆心坐标为，半径， 圆心到直线的距离为 ， 所以圆上的点到该直线的距离的取值范围是，即，故选：A.. 7．B 【详解】由，解得或，经过验证时两条直线重合，舍去.故选：B 8．D 【详解】由已知，又， 则点A到平面的距离为.故选：D. 9．B 【详解】取的中点， 所以 ， 又， 可得，所以.故选：B. 10．D 【详解】   不妨设双曲线的标准方程为，则双曲线的实半轴