18.1.1平行四边形的性质(第2课时) 教 案2023-2024学年人教版八年级数学 下册

第十八章 平行四边形 18.1 平行四边形 18.1.1　平行四边形的性质（第2课时）教学目标 1.理解平行四边形中心对称的特征，掌握平行四边形对角线互相平分的性质. 2.能综合运用平行四边形的性质解决与平行四边形有关的计算问题和简单的证明题. 3.培养学生的推理论证能力和逻辑思维能力. 教学重难点 重点：平行四边形对角线互相平分的性质以及性质的应用. 难点：综合运用平行四边形的性质进行有关的证明和计算. 教学过程 导入新课 导入1：复习提问： 教师：（1）什么样的四边形是平行四边形？四边形与平行四边形的关系（如图1所示）： 图1 （2）平行四边形的性质： 学生：①具有一般四边形的性质（内角和是360°）. ②角：平行四边形的对角相等，邻角互补. ③边：平行四边形的对边平行且相等. 导入2： 有一块平行四边形形状的米糕，小亮和小明要一人一半，你能帮他们平分这块米糕吗？动手画一个平行四边形，试试看.可过对称中心切开，或沿对角线切开. 这节课，我们继续探究平行四边形的性质. 探究新知 教师：请学生在纸上画两个全等的ABCD和EFGH，并连接对角线AC，BD和EG，FH，设它们分别交于点O，O′.把这两个平行四边形重叠在一起，在点O（O′）处钉一个图钉，将ABCD绕点O旋转180°，你发现了什么？你有什么猜想？ 学生通过动手操作，讨论后得出结论. 师生总结：ABCD绕点O旋转180°后仍与EFGH重合，这时我们说ABCD是中心对称图形，点O为对称中心. 猜一猜：根据刚才的实际操作，你知道平行四边形的对角线有什么性质吗？ 学生猜想：平行四边形的对角线互相平分. 教师：你能证明你的猜想吗？（可让学生讨论后独立写出证明过程） 已知：如图2所示，ABCD的对角线AC，BD相交于点O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. 证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形， 图2 ∴ AD＝BC，AD∥BC. ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4. ∴ △AOD≌△COB（ASA）. ∴ OA＝OC，OB＝OD. 师生共同总结： 平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分. 几何语言：∵ 四边形ABCD是平行四边形， O是对角线AC，BD的交点， ∴ OA＝OC，OB＝OD. 新知应用 图3 例1　如图3所示，ABCD的对角线AC，BD相交于点O，EF过点O与AB，CD分别相交于点E，F. （1）求证：OE＝OF，AE＝CF，BE＝DF. （2）四边形AEFD的面积和四边形BEFC的面积有何关系？说明理由. （1）证明：在ABCD中，AB∥CD， ∴ ∠1＝∠2，∠3＝∠4. 又OA＝OC（平行四边形的对角线互相平分）， ∴ △AOE≌△COF（AAS）. ∴ OE＝OF，AE＝CF（全等三角形的对应边相等）. ∵ AB＝CD（平行四边形的对边相等）， ∴ AB-AE＝CD-CF，即BE＝DF. （2）解：相等.理由如下： ∵ △AOE≌△COF，∴ S△AOE＝S△COF.. 易证△AOD≌△COB，△BOE≌△DOF， ∴ S△AOD＝S△BOC，S△BOE＝S△DOF， ∴ S四边形AEFD＝S四边形BEFC . 图4 例2　如图4所示，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝10 cm，AD＝ 8 cm，AC⊥BC，求BC，CD，AC，OA的长以及ABCD的面积. 分析：由平行四边形的对边相等，可得BC，CD的长；在Rt△ABC中，由勾股定理可得AC的长；再由平行四边形的对角线互相平分可得OA的长；根据平行四边形的面积＝底×高（高为此底上的高），可得ABCD的面积.（平行四边形的面积计算小学学过，再次强调“底”是对应着“高”说的，平行四边形中，任一边都可以作为“底”，“底”确定后，“高”也就随之确定了） 解：∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BC＝AD＝8 cm，CD＝AB＝10 cm. 又∵ AC⊥BC，∴ △ABC是直角三角形， ∴ AC＝＝＝6（cm）. 又∵ OA＝OC，∴ OA＝AC＝3 cm. ∴ ABCD的面积＝BC·AC＝8×6＝48（cm2）. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 1.C 2.D　解析：根据三角形的三边关系解决此类问题.因为平行四边形的对角线互相平分，所以两条对角线长的一半与平行四边形的一边构成一个三角形.A.2+3<10，故不能构成三角形.B.3+4<10，故不能构成三角形.C.4+5<10故不能构成三角形.D.5+6>10，故能构成三角形. 3.解：（1）S＝ab-a-b+1； （2）当a＝3，b＝2时，S＝6-3-2+1＝2. 图5 4.（1）解：作CE⊥AB，交AB的延长线于点E，如图5所示.设BE＝x，CE＝h， 在Rt△CEB中，x2+h2＝9①， 在Rt△CEA中