第五章一元函数的导数及其应用 检测练习-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第五章 一元函数的导数及其应用 检测练习 一、单选题 1．已知函数，若不等式对任意均成立，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A．2 B． C． D．3 3．下列四个命题：①，②，③，④，其中真命题的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．若函数存在递减区间，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．函数的图像大致是 A． B． C． D． 6．已知函数从到的平均变化率为，则实数a的值等于（    ） A．2 B．1 C． D． 7．已知函数，则（    ） A． B． C．1 D．3 8．若直线和曲线相切，则实数的值为（    ） A． B．2 C．1 D． 二、多选题 9．下列求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 10．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 11．已知函数，当时，的取值范围是，则实数的值可以是（    ） A． B． C．1 D．2 12．已知是自然对数的底数，则下列不等关系中不正确的是（   ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知函数，则的值为 . 14．若直线是函数的一条切线，则 ． 15．已知函数的定义域为，且，若，则函数的取值范围为 ． 16．已知定义在上的函数满足，若，则实数的取值范围是 . 四、解答题 17．求值： (1)； (2)． 18．求下列函数的导数： (1) (2) 19．已知函数在上有零点，其中是自然对数的底数. （Ⅰ）求实数的取值范围； （Ⅱ）记是函数的导函数，证明：. 20．已知函数. （1）当时，求证：； （2）讨论函数的零点个数. 21．某产品每件成本元，售价元，每星期卖出件.如果降低价格，销售量可以增加，即：若商品降低（单位：元，），则一个星期多卖的商品为件.已知商品单件降低元时，一星期多卖出件.（商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本） (1)将一个星期的商品销售利润表示成的函数； (2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大. 22．某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式，其中，a为常数.已知销售价格为6元/千克时，每日可售出该商品13千克. (1)求a的值； (2)若该商品的成本为4元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大. 参考答案： 1．A 【分析】利用函数奇偶性的定义及导数可得函数为R上单调递增的奇函数，化简不等式，然后将分离，利用基本不等式，即可求出答案. 【详解】因为的定义域为R， ， 所以函数是奇函数， 由， 可知在上单调递增， 所以函数为R上单调递增的奇函数， 所以不等式对任意均成立等价于 ， 即，即对任意均成立， 又，当且仅当时取等号， 所以的取值范围为. 故选：A. 2．B 【解析】根据导数的定义，以及导数的计算，即可求得结果. 【详解】根据题意，对函数，有， 又由， 则，则有. 故选：B. 【点睛】本题考查导数的定义，以及导数的计算，属综合基础题. 3．B 【分析】由，判断①正确；根据的单调性得到，判断②错误；令，，化简整理得，判断③正确；先判断得到，再判断得到，最后判断④错误. 【详解】解：由，故①正确； 由，考察函数，，所以当时，， 即在上单调递增，当时，，即在上单调递减， 所以时，取到最大值，所以，故②错误； 令，，所以， 所以，即，故③正确； 由，所以，由， 所以，故④错误， 真命题的个数为2个 故选：B. 【点睛】本题考查判断命题的真假、利用单调性判断对数的大小、利用导数判断对数的大小、利用对数运算判断等式是否成立，是中档题. 4．B 【分析】对求导，由题意知存在使，结合二次函数的性质有，即可求的取值范围. 【详解】由题设，，由存在递减区间，即存在使， ∴，可得或. 故选：B 5．D 【分析】本题首先可根据得出，然后即可判断出函数是奇函数并排除B项，然后利用导数判断函数的单调性，问题得解． 【详解】因为，， 所以函数是奇函数，排除B， 因为函数的解析式为， 所以， , 在递增 又， 所以在恒成立 所以在递增，又 所以在恒成立 所以在为增函数，排除A、C， 综上所述，故选D． 【点睛】本题考查如何判断函数的大致图像，可通过函数性质来判断，比如说函数的单调性、奇偶性、值域、特殊值的大小，考查推理能力，是中档题． 6．D 【分析】根据平均变化率的定义计算即可 【详解】∵，∴，解得． 故选：D. 7．B 【解析】直接根据基本初等函数的导数公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查基本初等函数的导数公式，属于基础题． 8．