重难点03 抽象函数问题-备考2024年高考数学重难点专题突破（新高考专用）

2024 XINSIWEISHUXUEJINGPINCHAOSHI 高考数学重难点 新 思 维 数 学 XINSIWEI 统计近几年高考试题，明确命题规律 多角度切入，多方向解析，总结解题思维策略 以高考真题为载体，科学备考不走弯路 针对高考中的高频难点，精心设计，助你冲击数学巅峰 重难点3 抽象函数 难点3 抽象函数 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式,只给出它的一些特征、性质或一些特殊关系式的函数， 抽象函数问题近几年频频出现在高考试题中，已成为高考中的一个重点题型，下面对近几年高考试题中的抽象函数问题做一下统计： 年份 试卷类型 考题 考察内容 题型 2023 新Ⅰ卷 11 求值、性质 多选题 2022 新Ⅰ卷 12 求值 多选题 新Ⅱ卷 8 求值 单选题 全国乙卷（理） 12 求值 单选题 2021 新Ⅱ卷 8 求值 单选题 全国甲卷（文） 12 求值 单选题 全国甲卷（理） 12 求值 单选题 2020 新Ⅰ卷 8 解不等式 单选题 2019 新Ⅲ卷 11 比较大小 单选题 2018 新Ⅱ卷 19 求值 单选题 通过以上统计可以发现，抽象函数问题已经成为近几年的高考热点内容，题目考察形式以选择题为主，且往往处于选择题压轴题的位置，考察内容以求值和分析函数的性质为主，综合考察考生的逻辑推理能力，对考生思维的灵活性要求较高，以下我们以高考题为载体，分析一下抽象函数问题的基本解题策略和常用的重要结论 解题基本策略： 赋值法：根据条件式，令变量分别取0，1，-1，2等特殊数值代入，求出某些函数值，当条件中有的函数值时，也常将代入；另外也可以将代入，根据定义判断函数的奇偶性和单调性。 探究性质：根据条件可以探究函数的奇偶性、单调性、对称性和周期性，以便我们顺利的解决问题，下面是判断函数性质的常用结论： 1.对称性： 结论1：任意函数关于直线对称 推广：的图像关于对称； 结论2：任意函数关于直线对称 2.周期性： 结论1：对任意函数，如果满足，那么是周期. 结论2：对任意函数，如果满足，那么2T是周期. 结论3：对任意函数，如满足，那么2T是周期. 3.对称性与周期性的关系： 性质1： 若函数同时关于直线与轴对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质2：若函数同时关于点与点中心对称，则函数必为周期函数，且是周期； 性质3：若函数既关于点中心对称，又关于直线轴对称，则函数必为周期函数，且是周期。 下面三个函数，也是常见的周期函数形式： ． 具体化：抽象问题具体化是我们处理抽象问题的常用策略，实现这一目标两个角度： 角度1：抽象问题图像化：根据题设条件画出函数图像，然后根据图像寻找解题的思路和方法； 角度2：抽象问题模型化：根据题设条件，构建满足题意的特殊函数模型，以达到帮助寻找解题思路的目的，特别是一些选择题，有时候可以达到“秒杀”的效果。 常见的抽象函数模型 （1） 对于正比例函数 ，与其对应的抽象函数为  . （2） 对于一次函数 ，与其对应的抽象函数为 . （3）对于反比例函数 ，与其对应的抽象函数为  （4） 对于指数函数 ，与其对应的抽象函数为 或 . （5） 对于对数函数 ， 其对应的抽象函数为 或 对于对数函数 ，其抽象函数还可以是 （6） 对于正弦函数 ，与其对应的抽象函数为 （7） 对于余弦函数 ，与其对应的抽象函数为  对于余弦函数 ，其抽象函数还可以是 （8） 对于正切函数 ，与其对应的抽象函数为 例1．（2023·新高考I卷T11）已知函数的定义域为，，则（    ）． A． B． C．是偶函数 D．为的极小值点 例2．（2022·新高考II卷T8）已知函数的定义域为R，且，则（    ） A． B． C．0 D．1 例3．（2020·新高考I卷T8）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题组1 高考真题重做 1．（2019·新课标III卷T11）设是定义域为的偶函数，且在单调递减，则 A． B． C． D． 2．（2018·新课标II卷理T11）已知是定义域为的奇函数,满足.若，则 A． B． C． D． 3．（2021··全国甲卷文T12）设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ） A． B． C． D． 4．(2016高考天津文T6)已知是定义在上的偶函数，且在区间上单调递增，若实数满足，则的取值范围是 (　　) A． B． C． D． 5．（2022全国乙卷理T12）已知函数的定义域均为R，且．若的图像关于直线对称，，则（    ） A． B． C． D． 6．（2021··新高考II