5.2.3简单复合函数的导数 2023-2024学年高二数学教材配套教学精品课件（人教A版2019选择性必修第二册）

人教A版 选择性必修第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.2 导数的运算 5.2.3 简单复合函数的导数 教学目标 1.了解复合函数的概念． 2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数． 3.能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题． 01 复习导入 复习导入 基本初等函数的导数公式： 复习导入 2. ； 3. ． 1. 一般地，对于两个函数可导 和 ，有如下法则： 导数的运算法则 02 复合函数 新知探究 l l 探究：如何求函数 y＝ln(2x-1) 的导数？ 问题1：这个函数用我们学过的方法能不能求出它的导数?为什么？ 现有方法无法求出它的导数. 主要原因如下： ①用定义不能求出极限； ②该函数不是基本初等函数，没有求导公式； ③该函数不是基本初等函数的和、差、积、商形式，不能用导数的四则运算法则解决这个问题． 新知探究 问题2：函数 <m> y＝ln(2x-1)可以用基本初等函数表示吗？它的结构特点是什么？ 若设，则可以看成是由和经过“复合”得到的，即可以通过中间变量表示为自变量的函数. 如果把与的关系记作，和的关系记作，那么这个“复合”过程可表示为 新知探究 一般地，对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y=f (u)和u=g (x)的复合函数. 记作：y=f (g(x)). 复合函数 例如，函数y=sin2x是由y=sinu和u=2x复合而成. 新知探究 新知探究 (1)由y＝f(u)与u＝g(x)得复合函数y＝f(g(x)).(2)对于复合函数，中间变量应选择基本初等函数，判断一个函数是基本初等函数的标准是存在求导公式，即能直接求导. 方法总结： 新知探究 √ √ √ 03 复合函数求导 新知探究 我们遇到的许多函数都可以看成是由两个函数经过“复合”得到的.例如，函数由和复合而成.又如，函数由 和复合而成. 如何求复合函数的导数呢？我们先来研究的导数. 函数的导数一定与函数，的导数有关.下面我们就来研究这种关系. 新知探究 以表示对的导数，表示对的导数，表示对的导数. 方法一： 方法二： 可以发现， 探究：求的导数，可以看作函数 新知探究 复合函数的导数法则 一般地，对于由y=f (u)和u=g(x)复合而成的函数 y=f (g(x))，它的导数与函数y=f (u)，u=g(x)的导数间的关系为 即对的导数等于对的导数与对的导数的乘积 新知探究 例2 求下列函数的导数： (1)；(2)(3). l 解：(1)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有： (2)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有： 新知探究 (3)函数可以看作函数和的复合函数.根据复合函数的求导法则，有： 新知探究 (1)求复合函数的导数的步骤： (2)求复合函数的导数的注意点：①内、外层函数通常为基本初等函数.②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点. 方法总结： 新知探究 练习：(1)函数的导数_______. (2)函数的导数_______. 解(1)：∵， ∴ 解(2)： 新知探究 例3.某个弹簧震子在震动过程中的位移y(单位:mm) ,关于时间t(单位:s)的函数满足关系式 .求函数y在t=3s时的导数，并解释它的实际意义. 解：函数 是 y=18sinu 与 的复合函数 则 当t=3时， 它表示当t=3时，弹簧震子的瞬时速度为0mm/s. 新知探究 例3.曲线在点处的切线方程为__________. 解：∵，∴ 当时，， ∴曲线在点处的切线方程为，即. 新知探究 方法总结 1.利用导数求切线的斜率是一种非常有效的方法，它适用于任何可导函数．求曲线的切线方程时，一定要注意已知点是否为切点．求过点 与曲线相切的直线方程时，一般设出切点坐标为 ，写出切线方程 ,再代入点 的坐标，求出 ． 2.利用导数求参数问题，能比较全面地考查导数的应用，突出了导数的工具性作用． 新知探究 练习.曲线 上的点到直线 的最短距离是( ). A. B. C. D. 解：设曲线 在点 处的切线与直线 平行． ， ，解得 ， ，即切点坐标为 ． ∴切点