河南省南阳市第一中学校2023-2024学年高三上学期第六次月考数学试卷

南阳一中高三年级第六次月考数学学科试题 一、单选题 1．已知i是虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知集合，若，则实数a的取值集合是（    ） A． B． C． D． 3．若函数是奇函数，则a的值为（    ） A．1 B．－1 C．±1 D．0 4．若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D．m>1 5．若且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知是椭圆上的动点，则点到直线的距离的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．已知圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知有穷数列中，，且，从数列中依次取出构成新数列，容易发现数列是以-3为首项，-3为公比的等比数列，记数列的所有项的和为，数列的所有项的和为，则（ ） A． B． C． D．与的大小关系不确定 二、多选题 9．如图，已知圆锥顶点为 ， 其轴截面 是边长为 6 的为正三角形， 为底面的圆心， 为圆 的一条直径， 球 内切于圆锥 （与圆锥底面和侧面均相切）， 点 是球 与圆锥侧面的交线上一动点，则（） A．圆锥的表面积是 B．球的体积是 C．四棱锥体积的最大值为 D．的最大值为 10．已知抛物线的焦点为，准线为，过点的直线与抛物线交于，两点，点在上的射影为，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．以为直径的圆与相切 C．设，则 D．过点与抛物线有且仅有一个公共点的直线至多有2条 11．设函数（a，），下列命题正确的是（    ） A．若存在负零点，则 B．若，则有且只有一个零点 C．若有且只有两个正零点，则 D．若且存在零点，则的零点都是正的 12．已知棱长为2的正方体中，M，N，P分别在线段，，上运动（含端点位置），则下列说法正确的是（    ）． A．若点M与B不重合，点N与C不重合，则平面平面 B．若，则为直角三角形 C．若四边形为菱形，则四边形的面积最大值为4 D．若A，P，M，N四点共面，则 三、填空题 13．在中，，若，则 ． 14. (湘豫联考第15题变式)若函数在处取得最大值，且的图象在上有6个对称中心，则的取值范围为__________. 15.已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若＝，· ＝0，则C的离心率为________． 16．在棱长为3的正方体中，点E满足，点F在平面内，则的最小值为 . 四、解答题 17．在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若 (1)求角A的大小； (2)若，求中线AD长的最大值（点D是边BC中点）． 18．已知和是各项均为正整数的无穷数列，若和都是递增数列，且中任意两个不同的项的和不是中的项，则称被屏蔽．已知数列满足． (1)求数列的通项公式； (2)若为首项与公比均为的等比数列，求数列的前项和，并判断能否被屏蔽，请说明理由 19．假设某市大约有800万网络购物者，某电子商务公司对该地区n名网络购物者某年度上半年前6个月内的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间内，其频率分布直方图如图所示，若频率分布直方图中的a，b，c，d满足，且从左到右6个小矩形依次对应第一至六小组，第五小组的频数为2400. (1)求a，b，c，d的值； (2)现用分层抽样方法从前4组中选出18人进行网络购物爱好调查， （i）求在各组应该抽取的人数； （ii）在前2组所抽取的人中，再随机抽取3人，记这3人来自第一组的人数为X，求随机变量X的分布列与数学期望. 20．已知正三棱柱中，侧棱长为，底面边长为2，D为AB的中点. (1)证明：；(2)求二面角的大小； (3)求直线CA与平面所成角的正弦值. 21.已知抛物线为抛物线外一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为（在轴两侧），与分别交轴于. (1)若点在直线上，证明直线过定点，并求出该定点； (2)若点在曲线上，求四边形的面积的范围. 22.已知函数. （1）求函数的极小值； （2）求证：当时，. 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第六次月考参考答案 1．C 2．C 3．C 4．B函数的定义域为，且， 令，得，因为在区间上不单调， 所以，解得： 5．B 6．A【详解】要使点到直线的距离最大，只需找到与平