2023-2024学年人教版九年级上册数学期末专题复习：实际问题与二次函数-- 图形问题

实际问题与二次函数-- 图形问题 1．如图，矩形内接于（矩形各顶点在三角形边上），E，F在上，H，G分别在，上，且于点D，交于点N． (1)求证：； (2)若，，设，矩形的面积为y，求出y与x之间的函数表达式，并写出自变量x的取值范围． 2．在边长为的正方形上，剪去四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（四个顶点正好重合于上底面的一点）；已知在上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设． (1)若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积； (2)某广告商要求包装盒表面（不含下底面）面积最大，试问应取何值？ 3．小明用一根8米长的绳子围成一个矩形，设其中一边长为x米（），矩形的面积为y平方米，解答下列问题： (1)写出y与x的函数关系式； (2)小明想围成的矩形面积最大，请你帮他算一算当x是多少时面积最大？最大面积是多少？ 4．如图，直线与x轴、y轴分别交于点A，B，抛物线经过点A，B，并与x轴交于另一点C，其顶点为P． (1)求出a，k的值； (2)求的面积； (3)在抛物线上是否存在点M，使，如果存在，求出点M坐标；如果不存在，请说明理由． 5．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线与x轴交于点A、B，与y轴交于点C，且． (1)抛物线的解析式为______； (2)点P为第一象限抛物线上一点，轴交线段于点D，设点P的横坐标为m，线段的长为d，求d与m之间的函数解析式（不要求写出自变量m的取值范围）； (3)在（2）的条件下，过点B作，垂足E落在线段上，连接，，求点P的坐标． 6．如图所示，在一矩形空地内建筑一个小的矩形花坛，要求在上，，分别在，上，已知米，米，设(米) (1)设，求与之间的函数表达式； (2)当，的长度分别是多少时，花坛的面积最大？并求出最大面积 7．如图，在中，，于点D，．点M从点A出发，沿方向匀速运动，速度为；同时直线PQ由点B出发，沿BA的方向匀速运动，速度为，运动过程中始终保持．直线交于点，交于点，交于点，连接．设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形是平行四边形？ (2)设四边形的面积为，求y与t之间的函数关系式： (3)是否存在某一时刻t，使若存在，求出此时t的值；若不存在，说明理由． 8．为加强学生的素质教育，让学生看到自己的劳动成果，兴华中学围建了一个如图所示的矩形苗圃园让学生种菜．苗圃园其中一边靠墙，另外三边用长为的篱笆围成，已知墙长为，设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为，这个苗圃园的面积为． (1)求与之间的函数关系式；（直接写出的取值范围） (2)当矩形场地的面积为时，求垂直于墙的一边的长； (3)当取何值时这个苗圃园的面积最大，最大面积为多少？ 9．如图，矩形的四个顶点都在的边上，于点D，交于点N． (1)求证：； (2)若，，设的长度为x，矩形的面积为y，则矩形的面积是否有最大值？如果有，请求出矩形面积的最大值：如果没有，请说明理由． 10．某校准备在校园里利用围墙（墙可用最大长度为）和长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形开心农场．某数学兴趣小组设计了三种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题： (1)方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度的矩形水池，且需保证总种植面积为，试确定的长； (2)方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ (3)方案三：如图③，在图中所示三处位置各留宽的门，且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问应设计为多长？此时最大面积为多少？ 11．如图，已知锐角三角形，点A在三角形内，，，．作的外接圆，交于点F，连接，． (1)求证：． (2)若，， ①求的取值范围． ②求的面积S的取值范围． 12．在等边三角形中，点分别边上．    (1)如图1，若将等边三角形沿翻折，点恰好落在边上的点处， ①求证：； ②若，若设，求与的函数关系式及的最值． (2)尺规作图：在边上求作一点使，（不写作法，保留作图痕迹，请在图2中找出所有符合条件的点） (3)若，设，若要使得（2）中只能作出唯一的点，则的值应该满足什么条件，请通过计算说明 13．一块材料的形状是锐角三角形，边，高，把它加工成正方形零件如图，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在，上． (1)求这个正方形零件的边长； (2)如果把它加工成矩形零件如图，问这个矩形的最大面积是多少？ 14．如图，二次函数图象的对称轴为直线，图象过点A、B、C，B点的坐标为，点M为抛物线上的一个动点． (1)求二次函数的表达式； (2)当点M位于x轴下方的抛物线上时，过点M作x轴的垂线，交于点Q，求线段的最大值． (3)在（2）的条件下，当点M位于x轴下方的抛物线上时，求的最大