2024年山东省泰安市九年级中考数学专项练习：一次函数与等腰三角形的存在性问题（基础）

2023-2024年泰安市数学中考专项练习：一次函数与等腰三角形的存在性问题（基础） 1．如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A、交y轴于点B，C点与A点关于y轴对称，动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO．当△PQB为等腰三角形时，点P的坐标是 　 　． 2．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝﹣x+n的图象与正比例函数y＝2x的图象交于点A（m，4）． （1）求m，n的值； （2）设一次函数y＝﹣x+n的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B，点C的坐标； （3）在x轴上是否存在点P使△PAB为等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 3．已知正比例函数y＝kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3． （1）求正比例函数的表达式； （2）在x轴上能否找到一点M，使△AOM是等腰三角形？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 已知直线与轴、轴相交于、两点． 求、两点的坐标； 将直线进行平移，平移后的函数解析式为，并与轴、轴相交于、两点，当时，求直线的解析式； 在轴上有一点，使得是等腰三角形．请你直接写出所有满足条件的点的坐标．   5．已知直线：与轴交于点，点在直线上，且位于轴右侧某个位置． (1)求点坐标； (2)过点作直线，交轴于点，当的面积为60时，求点坐标； (3)在（2）问条件下，，分别为射线与上两动点，连接，，是否存在当为直角三角形同时为等腰三角形的情况，若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与正比例函数的图象交于点． (1)求m，n的值； (2)设一次函数的图象与x轴交于点B，与y轴交于点C，求点B、点C的坐标； (3)写出使函数的值小于函数的值的自变量x的取值范围． (4)在x轴上是否存在点P使为等腰三角形，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴y轴分别交于点A、点B，与正比例函数y＝x的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D． （1）求△OAB的周长和点D的坐标； （2）如图2，点P是y轴上一动点，当CP+PD最小时，求点P的坐标； （3）若点Q是x轴上一动点，当△OQD为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 8.如图，直线l：y＝3交x、y轴分别为A、B两点，C点与A点关于y轴对称．动点P、Q分别在线段AC、AB上（点P不与点A、C重合），满足∠BPQ＝∠BAO． （1）点A坐标是　 　，点B的坐标　 　，BC＝　 　． （2）当点P在什么位置时，△APQ≌△CBP，说明理由． （3）当△PQB为等腰三角形时，求点P的坐标． 9．一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与x轴、y轴分别相交于点A（﹣8，0）和点B（0，6）．点C在线段AO上．如图，将△CBO沿BC折叠后，点O恰好落在AB边上点D处． （1）求一次函数的解析式； （2）求AC的长； （3）点P为x轴上一点．且以A，B，P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出P点坐标． 10．如图，一次函数y＝x+1的图象分别与x轴，y轴交于点B与点A，直线AC与x轴正半轴交于点C，且∠BAO＝45°，OC＝2OB． （1）求直线AC的函数表达式； （2）点D在直线AB上且不与点B重合，点E在直线AC上．若以A，D，E为顶点的三角形与△ABC全等，请直接写出点D的坐标（不必写解答过程）； （3）已知平面内一点P（m，n），作点P关于直线AB的对称点P1，作P1关于y轴的对称点P2，若P2恰好落在直线AC上，则m，n应满足怎样的等量关系？说明理由． 11．如图1，一次函数y＝﹣x+4的图象与x轴y轴分别交于点A、点B，与正比例函数y＝x的图象交于点C，将点C向右平移1个单位，再向下平移6个单位得到点D．（1）求△OAB的周长和点D的坐标； （2）如图2，点P是y轴上一动点，当CP+PD最小时，求点P的坐标； （3）若点Q是x轴上一动点，当△OQD为等腰三角形时，直接写出点Q的坐标． 12如图，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点A，B，将△AOB沿直线CD对折，使点A和点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D． （1）求A，B两点的坐标； （2）求线段CD的长； （3）点P在x轴上，使△PAB为等腰三角形．直接写出所有满足条件的点P的坐标． 13.如图，在平面直角坐标系中，直线l1的解析式为y＝x﹣1，与x轴、y轴分别交于点A、点B，直线l2的解析式为，与x轴、y轴分别交于点C、点D，