第三章 圆锥曲线的方程 讲义-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册必备知识与能力盘点

高2022级期末复习——《圆锥曲线》 复习三步曲：重点知识再现、基本方法重温、基本技能过手 一、基础知识：三种圆锥曲线的定义（统一定义和椭圆双曲线各自第一定义）、标准方程、相关参数的关系、图形的几何性质、离心率、渐近线、与直线的位置关系等 二、常见类型题：弦长问题、中点问题、范围问题（最值问题）、定值定点问题、共线问题、存在性问题等等 三、归纳总结每类问题的方法及易错、易混、易漏点 《圆锥曲线》必备知识与能力盘点 一.圆锥曲线的定义及应用 1.第一定义:注意要重视限制条件：椭圆中，与两个定点的距离的和等于常数，且，当时，轨迹是线段，当时，无轨迹； 注意：双曲线中，与两定点的距离的差的绝对值等于常数，且，定义中的“绝对值”与不可忽视。若，则轨迹是以为端点的两条射线，若，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 举一反三：（1）已知定点，在满足下列条件的平面上动点P的轨迹中是椭圆的是 （ ） A． B． B． C． D．（答：C）； （2）方程表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （3）短轴长为，离心率的椭圆的两焦点为、，过作直线交椭圆于A、B两点，则的周长为________（答：6）； 2.第二定义：平面内动点到定点与到定直线的距离比值为离心率。即 第二定义中要注意定点和定直线是相应的焦点和准线，且“点点距为分子、点线距为分母”，其商即是离心率。圆锥曲线的第二定义，给出了圆锥曲线上的点到焦点距离与此点到相应准线距离间的关系，要善于运用第二定义对它们进行相互转化。 举一反三：抛物线上的两点A、B到焦点的距离和是5，则线段AB的中点到轴的距离为______（答：2）； 3.椭圆、双曲线的第三定义： 性质1：椭圆上任意一点(不是长轴端点)与长轴的两个端点的连线斜率之积为；性质2：椭圆中弦所在直线斜率与弦中点与原点连线斜率之积为 类似地：双曲线上任意一点(不是左右顶点)与实轴的两个端点的连线的斜率之积为，双曲线中弦所在直线斜率与弦中点与原点连线斜率之积为 举一反三：双曲线，点A，B均在E上，若四边形为平行四边形，且直线OC，AB的斜率之积为3，则双曲线E的渐近线的倾斜角为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】B 【解析】设，显然线段的中点坐标为， 因为四边形为平行四边形， 所以线段的中点坐标和线段的中点坐标相同，即为， 因此点坐标为， 因为直线OC，AB的斜率之积为3，所以， 因为点A，B均在E上，所以， 两式相减得：，所以两条渐近线方程的倾斜角为或， 故选：B   4.焦半径（圆锥曲线上的点到焦点的距离）的计算方法：利用圆锥曲线的第二定义，转化到相应准线的距离，即焦半径，其中表示到与所对应的准线的距离。 焦半径公式：抛物线，C 为抛物线上一点，焦半径. 过焦点弦长.对焦点在y轴上的抛物线有类似结论。 5.焦点三角形 （椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）（常利用第一定义和正弦、余弦定理求解）设椭圆或双曲线上的一点到两焦点的距离分别为，焦点的面积为. 5.1椭圆焦点三角形 在椭圆中， （1）＝，且当即为短轴端点时，最大，为＝；（2）， （3）当即为短轴端点时，的最大值为bc； (4)焦点三角形的周长为2(＋c)． (5)当r1＝r2时，即点P的位置为短轴端点时，θ最大； 5.2双曲线中焦点三角形 在双曲线(,)中,,分别为左、右焦点,为双曲线上一点,，的面积记为，则： （1） 焦点三角形面积公式I. II. III. IV. (2)若焦点三角形PF1F2的内切圆与F1F2切于点Q，则点Q为双曲线的顶点． 注意：在求圆锥曲线中焦点三角形面积时，根据题意选择适合的公式，注意结合圆锥曲线的定义，余弦定理，基本不等式等综合应用. 举一反三：（1）在椭圆上存在点P，使的条件是c≥b,即椭圆的离心率e的范围是； 推广：在椭圆上存在点P，使，则椭圆的离心率e的范围是 （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：） （3）设P是等轴双曲线右支上一点，F1、F2是左右焦点，若，|PF1|=6，则该双曲线的方程为 （答：）； （3）已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，．求该双曲线的标准方程（答：）； （4）已知双曲线，过原点的直线l与双曲线交于B，C两点，A为双曲线的右顶点，F为双曲线的左焦点，直线AB，AC的斜率之积为，则b＝ ；若，则的面积为 . 【答案】 【解析】令，则，∴①， 又②，联立①②得； 令双曲线的右焦点为，如图所示，由B、C关于原点对称，则, 易证，，    设,由余弦定理得：， ∴. 故答案