2024年人教版九年级数学中考专题训练：二次函数中相似三角形问题

2024年人教版九年级数学中考专题训练： 二次函数中相似三角形问题 1．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过点A（2，0）和点，顶点为点D． (1)求直线AB的表达式； (2)求tan∠ABD的值； (3)设线段BD与轴交于点P，如果点C在轴上，且与相似，求点C的坐标． 2．如图，抛物线交轴于点和，交轴于点． (1)求抛物线的表达式； (2)是直线上方抛物线上一动点，连接交于点，当的值最大时，求点的坐标； (3)为抛物线上一点，连接，过点作交抛物线对称轴于点，当时，请直接写出点的坐标． 3．如图，抛物线与轴交于两点（点位于点的左边），与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点，长为2的线段（点位于点的上方）在轴上方的拋物线对称轴上运动．    (1)求抛物线的表达式； (2)过点作轴于点，当和相似且与是对应边时，求点的坐标． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线过点、，和点三点．    (1)求抛物线的表达式； (2)P为抛物线第四象限上的一个动点，连接交线段于点G，如果，求点P的坐标． 5．如图，抛物线与 x 轴分别交于点 A、B，与 y 轴交于点 C， ，顶点 D ， 对称轴交 x 轴于点 Q．    (1)求抛物线的解析式； (2)已知直线 与对称轴形成的夹角为 45°，动点M在对称轴上运动且位于点 D下方时，是否存在和相似？如果存在，求出点 M的坐标；如果不存在，请说明理由． 6．如图，已知抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C． (1)求点A、B，C的坐标； (2)抛物线的对称轴l与x轴的交点为D，连接，在抛物线上是否存在点E、F（点E、F关于直线l对称，且E在点F左侧），使得以D、E、F为顶点的三角形与相似，若存在，求出点E的坐标，若不存在，请说明理由． 7．抛物线与x轴，y轴分别交于，两点．    (1)求b，c的值； (2)记抛物线的对称轴与x轴的交点为C，P为x轴上C点右侧一点，Q为抛物线上一点，若是以为斜边的直角三角形且与相似（点C与点A为对应顶点），求点Q的坐标． 8．我们把一次函数（为常数，）与二次函数（为常数，）称为一对“相伴函数”，比如：函数与就是一对“相伴函数”．如图，一次函数的图像与二次函数的图像相交于A，两点． (1)随着a的变化，他们的图像各自是一组直线与一组抛物线，一次函数的图像总过点 （写坐标）；不等式的解集为 ； (2)若△OAB是直角三角形，求a的值． 9．如图，抛物线与x轴交于两点，与y轴交于点C，连接．点P是第四象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m，过点P作轴，垂足为点M，交于点Q，过点P作交x轴于点E，交于点F． (1)求抛物线的解析式： (2)试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请直接写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由； (3)请用含m的代数式表示线段的长，并求出m为何值时有最大值． 10．如图，在平面直角坐标系中，点A、的坐标分别为、，二次函数的图象为． (1)向上平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A，求抛物线的表达式； (2)平移抛物线，使平移后的抛物线经过点A、两点，抛物线与轴交于点，求抛物线的表达式以及点的坐标； (3)在（2）的条件下，记中点为，点为抛物线对称轴上一点，当与相似时，求点的坐标． 11．如图，二次函数的图象与轴交于点和点（点在点右侧），与轴交于点． (1)请说明、、的乘积是正数还是负数； (2)若，求这个二次函数的解析式． 12．如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接． (1)求点A、B、C的坐标； (2)设x轴上的一个动点P的横坐标为t，过点P作直线轴，交抛物线于点N，交直线于点M． ①当点P在线段上时，设的长度为s，求s与t的函数关系式； ②当点P在线段上时，是否存在点P，使得以O、P、N三点为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 13．如图，直线与x轴、y轴分别相交于B、C，经过B、C两点的抛物线与x轴另一交点为A，顶点为P，且对称轴是直线． (1)求抛物线解析式； (2)连接AC，请问在x轴上是否存在点Q，使得以点P、B、Q为顶点的三角形与相似，若存在，请求出Q点坐标；若不存在，说明理由． 14．如图，二次函数交x轴于点和交y轴于点C． (1)求二次函数的解析式； (2)如图，在第一象限有一点M，到O点距离为2，线段与的夹角为，且，连接，求的长度； (3)对称轴交抛物线于点D，交交于点E，在对称轴的右侧有一动直线l垂直于x轴，交线段于点F，交抛物线手点P，动直线在沿x轴正方向移动到点B的过程中，是否存在点P，使得以点P，C，F为顶点的三角形与相似？如果存在，求出点P的坐标；如果不存