精品解析：福建省长乐第一中学2023-2024学年高二上学期1月月考数学试题

福建省福州市长乐一中2023-2024学年高二上学期1月考试数学试题 一、单选题：（本大题共8小题，每小题5分，共40 分．在每小题四个选项中 ，只有一项是符合题目要求的） 1. 如图，在三棱柱中，M为的中点，设，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知空间向量，，，下列命题中正确的（ ） A. 若向量，共线，则向量，所在的直线平行 B. 若向量，所在的直线为异面直线，则向量，一定不共面 C. 若存在不全为0的实数使得，则，，共面 D. 对于空间任意一个向量，总存在实数使得 3. 在空间直角坐标系中，，点关于y轴的对称点为C，则=（ ） A B. C. 3 D. 4. 如图，已知正方体的棱长为1，点M为棱的中点，点P在正方形的边界及其内部运动．给出以下四个结论： ①存在点P满足； ②存在点P满足； ③满足的点P的轨迹长度为； ④满足的点P的轨迹长度为． 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. ，，若，则实数a的值为（ ） A. B. C. D. 6. 数学美的表现形式不同于自然美或艺术美那样直观，它蕴藏于特有的抽象概念，公式符号，推理论证，思维方法等之中，揭示了规律性，是一种科学的真实美. 平面直角坐标系中， 曲线C： 就是一条形状优美的曲线，对于此曲线，给出如下结论： ①曲线C围成的图形的面积是 ②曲线C围成的图形有2条对称轴； ③曲线C上的任意两点间的距离不超过2； ④若P(m,n)是曲线C上任意一点，则 的最小值是 其中正确结论的个数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知椭圆的方程为分别为椭圆的左、右焦点，为椭圆上在第一象限的一点，为的内心，直线与轴交于点，若，则该椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知抛物线：的焦点为，点在上，，则直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中 ，有多项是符合题目要求的.正确选项全对得5分，正确选项不全得2分，有错误选项得0分） 9. 已知正方体的棱长为2，E为线段的中点，，其中，，点Q在底面ABCD内（包括边界），且点Q到点A的距离与到平面的距离相等，则下列选项中正确的是（ ） A. 当时，的最小值为 B. 当时，与不垂直 C. 当时，存在点P，使得EP与平面所成的角为 D. 当时，PQ的最小值为 10. 以下四个命题为真命题的是（ ） A. 过点且在x轴上的截距是在y轴上截距的4倍的直线的方程为 B. 直线的倾斜角的范围是 C. 直线与直线之间的距离是 D. 直线过定点 11. 已知圆：，点为直线：上一动点，点在圆上，以下四个命题表述正确的是（ ） A. 直线与圆相离 B. 圆上有2个点到直线的距离等于1 C. 过点向圆引一条切线，其中为切点，则的最小值为 D. 过点向圆引两条切线、，、为切点，则直线经过点 12. 已知双曲线：的右焦点为，以坐标原点为圆心，线段为半径作圆与双曲线在第一、二、三、四象限依次交于A，B，C，D四点，若，则（ ） A. B. C. 四边形的面积为 D. 双曲线的离心率为 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 在正四棱锥中，若，平面与棱交于点，若，则__________． 14. 直线与直线垂直，则直线在轴上的截距是_________. 15. 已知，为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于A，B两点，，则______________. 16. 如图，已知抛物线，圆，，为抛物线上的两点，，则直线被圆所截的弦长最小值为__________． 四、解答题：本大题共6小题，共70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 如图，平行六面体的底面是菱形，且 （1）用空间的一个基底表示，并求的长； （2）求异面直线与所成角余弦值． 18. 如图，已知正方体的棱长为2，点M为正方形的内切圆上的动点． （1）在线段上是否存在点N，使得恒成立，若存在，求出点N的位置，若不存在，说明理由； （2）当点M落在线段靠近点上时，求二面角的余弦值． 19. 已知圆经过三点. （1）求圆的方程； （2）已知斜率为直线经过第三象限，且与圆交于点，求的面积的取值范围. 20. 在平面直角坐标系中，已知两点，动点满足，设点的轨迹为.如图，动直线与曲线交于不同的两点（均在轴上方），且. （1）求曲线的方程； （2）当为曲线与轴正半轴的交点时，求直线的方程； （3）是否存在一个定点，使得直线始终经过此定点？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由. 21. 已