第05讲 平方根-【寒假自学课】2024年七年级数学寒假提升学与练（人教版）

第05讲 平方根 知识点 1 ：平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 注意：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 　 如果，那么叫做的平方根.求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系：（1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 注意：（1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点3：平方根的性质 知识点4：平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 考点剖析 考点一：平方根的概念和表示 【典例1】实数的平方根为（    ） A． B． C．3 D． 【变式1-1】下列结论正确的是（    ） A．1的平方根是1 B．0的平方根是0 C．的平方根是 D．的平方根是 【变式1-2】实数的平方根是（    ） A． B．2 C． D．4 【变式1-3】下列对“是的平方根”表示正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点二：平方根的性质 【典例2】已知正数m有两个平方根，分别是与． (1)求a的值； (2)求这个正数m． 【变式2-1】一个正数的两个平方根分别为与，则这个正数为（    ） A． B．2 C．4 D．9 【变式2-2】一个正数的平方根是与，求和的值． 【变式2-3】已知正数x的平方根是m和． (1)当时，求m的值； (2)若，求的值． 考点三：利用开平方解方程 【典例3】解方程： (1)； (2)． 【变式3-1】求x的值：． 【变式3-2】求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【变式3-3】求下列各式中的值： (1)； (2)． 考点四：算术平方根的概念 【典例4】若满足，则的算术平方根是（    ） A． B． C．0 D．4 【变式4-1】实数9的算术平方根为（    ） A．3 B． C． D． 【变式4-2】的算术平方根是（    ） A． B．9 C． D．3 【变式4-3】若对于实数x、y定义一种新运算：，则 ． 考点五：算术平方根的非负性 【典例5】已知，求的平方根． 【变式5-1】若实数x、y满足，则的算术平方根是（　　） A．36 B． C．6 D． 【变式5-2】若，则的算术平方根的平方根为 ． 【变式5-3】若，则 ． 考点六：算术平方根的估算 【典例6】估算的值在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【变式6-1】面积为20的正方形的边长为m，则m的值在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【变式6-2】实数在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【变式6-3】根据下列表格，估计的大小（    ） x 1.61 1.62 1.63 1.64 1.65 2.5921 2.6244 2.6569 2.6896 2.7225 A．在1.61~1.62之间 B．在1.62~1.63之间 C．在1.63~1.64之间 D．在1.64~1.65之间 考点七：算术平方根的整数部分和小数部分 【典例7】设2+的整数部分和小数部分分别是x、y，试求x、y的值与x-1的算术平方根． 【变式7-1】已知的算术平方根是，的平方根是，是的整数部分，求的平方根． 【变式7-2】如图，每个小正方形的边长均为，阴影部分是一个正方形． （1）阴影部分的面积是__________，边长是____________； （2）写出不大于阴影正方形边长的所有正整数； （3）为阴影正方形边长的小数部分，为的整数部分，求的值． 考点八：与算术平方根有关的规律探索 【典例8】，，则______． 【变式8-1】有按规律排列的一组单项式：x，，，，，…，则第10个单项式