专题03 直线与椭圆方程（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题03 直线与椭圆方程 知识点一 椭圆方程的定义及简单的几何性质 例1．（1）、（2023上·山西吕梁·高二校联考阶段练习）已知为椭圆的两个焦点，P为C上一点，则的最大值等于（    ） A．2 B． C． D． （2）、（2023上·四川成都·高二石室中学校考期中）已知，为椭圆的两个焦点，为椭圆短轴的一个顶点，直线与椭圆的另一个交点为．若，则椭圆的离心率为 ． 1．（2023上·安徽宣城·高二安徽省宣城中学校考阶段练习）（多选题）已知曲线C的方程为，则下列结论正确的是（    ） A．当时，曲线C为圆 B．“”是“曲线C表示椭圆”的充分不必要条件 C．存在实数，使曲线C为双曲线，且离心率为 D．当时，过点且与双曲线C仅有一个公共点的直线有3条 2．（2023上·贵州六盘水·高二统考阶段练习）已知椭圆的左､右焦点分别为，其离心率，和是椭圆上的点，且，的面积为，是坐标原点，则的最小值为 ． 知识点二 中点弦问题-点差法 设直线和曲线的两个交点，，代入椭圆方程，得； ； 将两式相减，可得；； 最后整理得： 同理，双曲线用点差法，式子可以整理成： 设直线和曲线的两个交点，，代入抛物线方程，得； ； 将两式相减，可得；整理得： 例2．（1）、（2023上·宁夏吴忠·高二青铜峡市高级中学校考阶段练习）椭圆中以点为中点的弦所在直线的方程为 ． （2）、（2023上·福建莆田·高二莆田第四中学校考阶段练习）已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点，若的中点坐标为，则椭圆的方程为（    ） A． B． C． D． 1．（2023·河南·校联考模拟预测）已知椭圆的右焦点为外的一点满足（为坐标原点），过点的直线与交于两点，且，若直线的斜率之积为，则 ． 2．（2023上·内蒙古赤峰·高二校考阶段练习）椭圆与直线交于，两点，点为线段的中点，则直线的方程是（    ） A． B． C． D． 例3．（2022上·陕西安康·高二校考期末）已知椭圆E的中心在原点，焦点为，且离心率. (1)求椭圆E的方程； (2)过点的直线l与椭圆E相交于A，B两点且P为AB的中点求弦长. 1．（2022上·安徽黄山·高二校联考期中）已知为椭圆上一动点，的上，下焦点分别为，，定点． (1)求的最大值； (2)若直线与交于两点，且的中点为，求的面积． 知识点三 弦长 （最常用公式，使用频率最高） 例4．（1）、（2023上·浙江温州·高二浙江省平阳中学校联考期中）直线：在椭圆上截得的弦长是（    ） A． B． C． D． （2）、（2023·陕西西安·西安市大明宫中学校考模拟预测）已知直线与圆相切，且交椭圆于两点，若，则 ． 1．（2022上·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨七十三中校考期中）直线，当k变化时，此直线被椭圆截得的弦长的最大值是（    ） A．2 B． C．4 D．不能确定 2．（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆的离心率为，焦距为，斜率为的直线l与椭圆有两个不同的交点，则的最大值为 . 知识点四 三角形的面积 1、三角形面积问题 直线方程： 2、焦点三角形的面积 直线过焦点的面积为 注意：为联立消去后关于的一元二次方程的二次项系数 例5．（1）、（2023上·江苏盐城·高二江苏省响水中学校考期中）已知，分别是椭圆：的左、右两个焦点，若椭圆上存在四个不同的点，使得的面积为，则正实数的取值范围为 ． （2）、（2023上·山西运城·高二校联考期中）已知椭圆，点为椭圆的左顶点，点坐标是，点为椭圆上任意一点，则面积的最大值是（    ） A． B．6 C．9 D．12 （3）、（2023上·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）（多选题）已知椭圆的左､右焦点分别为，离心率为，且经过点在椭圆上，则（    ） A．的最大值为3 B．的周长为4 C．若，则的面积为 D．若，则 1．（2023上·安徽铜陵·高二校联考期中）已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上异于顶点的一点，为坐标原点，为线段的中点，的平分线与直线交于点，当四边形的面积为时， ． 2．（2023上·安徽滁州·高二校联考期中）已知椭圆的焦距为，为椭圆的右焦点，过点在轴上方作两条斜率分别为1和的射线，与分别交于，两点，且的面积为，则（    ） A．或2 B．2或3 C．2 D． 3．（2023上·山东·高二校联考阶段练习）（多选题）已知椭圆与双曲线有相同的焦点，，且它们的离心率互为倒数，是与的一个公共点，则（    ） A． B． C．为直角三角形 D．上存在一点，使得 知识点五 直线与椭圆方程的综合问题 直