专题02 空间向量与立体几何（知识梳理精讲）-【赢在寒假】2024年高二数学寒假专项课精讲与精练（新教材人教A版2019）

专题02 空间向量与立体几何（知识梳理） 知识点一 直线与直线的位置关系、夹角 例1．（1）、（2023上·浙江·高二路桥中学校考期中）如图，在正方体中，不能互相垂直的两条直线是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 （2）、（2023上·广东清远·高二校联考期中）（多选题）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C．点必在线段上 D．平面 1．（2023·贵州六盘水·统考模拟预测）（多选题）如图，在正四棱柱中，，为的中点，为上的动点，下列结论正确的是（    ）    A．若平面，则 B．若平面，则 C．若平面，则 D．若平面，则 2．（2023上·四川内江·高二四川省内江市第二中学校考阶段练习）如图，在棱长为2的正方体中，、、分别是，，的中点，是线段上的动点.    ①不存在点，使//平面； ②直线平面； ③经过、、、四点的球的体积为. 正确的是 . 知识点二 点到平面的距离 例1．（1）、（2023上·河北·高二校联考阶段练习）已知，，，，则点到平面的距离为 . （2）、（2023上·浙江宁波·高二校联考期中）如图，棱长为1的正方体，中M，N点，分别是线段，的中点，记E是线段的中点，则点E到面的距离为（    ） A． B． C． D． 1．（2023上·安徽·高二合肥市第六中学校联考期中）在长方体中，底面是边长为1的正方形，为的中点，为上靠近点的三等分点，则点到平面的距离为 . 2．（2023上·浙江金华·高二校联考阶段练习）阅读材料：空间直角坐标系中，过点且一个法向量为的平面的方程为，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面的方程为，点，则点到平面距离为（    ） A． B． C． D． 知识点三 直线与平面的夹角 例3．（2023上·上海嘉定·高三校考期中）在正方体中，是中点，点在线段上，若直线与平面所成的角为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（2023上·河南信阳·高二统考期中）已知是圆锥的底面直径，C是底面圆周上的点，，，，则与平面所成角的正弦值为（    ） A． B． C． D． 例4．（2022上·湖南长沙·高二周南中学校考开学考试）在棱长为4的正方体中，点P在棱上，且． (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)求点P到平面的距离． 1．（2023上·新疆伊犁·高二校联考期中）如图，在四棱锥中，平面，，底面是边长为2的正方形，为上一动点． (1)当时，求到平面的距离； (2)求与平面所成角的正弦值的最大值． 2．（2023上·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考期中）如图，已知直三棱柱中，且分别为的中点，为线段上一动点. (1)求与平面所成角的正切值； (2)求点到平面的距离； (3)求锐二面角的余弦值的最大值. 知识点四 平面与平面之间的夹角 例5．（2023上·河南周口·高三校联考阶段练习）如图，在正三棱柱中，，为的中点． (1)证明：； (2)求平面与平面的夹角的余弦值． 1．（2023上·四川眉山·高二仁寿一中校考期中）如图，在直三棱柱中，平面侧面，且. (1)求证：； (2)若，请问在线段上是否存在点，使得二面角的大小为，若存在请求出的位置，不存在请说明理由. 2．（2023下·贵州贵阳·高三校联考阶段练习）如图，多面体的底面是正方形，平面，点在上，且. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 空间向量与立体几何（知识梳理） 知识点一 直线与直线的位置关系、夹角 例1．（1）、（2023上·浙江·高二路桥中学校考期中）如图，在正方体中，不能互相垂直的两条直线是（    ）    A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量数量积逐项判断即可. 【详解】在正方体中，以点为坐标原点， 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，    设该正方体的棱长为，则、、、、、 、、. 对于A选项，，，则，故； 对于B选项，，，故，B对； 对于C选项，，，故和不垂直，C错； 对于D选项，，，故，D对, 故选：C. （2）、（2023上·广东清远·高二校联考期中）（多选题）如图所示，正方体中，，点在侧面及其边界上运动，并且总是保持，则以下四个结论正确的是（    ） A． B． C．点必在线段上 D．平面 【答案】ACD 【分析】建立适当的空间直角坐标系，设出点，由题意，从而可得，对于A，只需验证是否成立即可；对于B，只需验证是否成立即可；对于C，令，判断关