16.1 二次根式 第一课时 教案 2023-—2024学年人教版数学八年级下册

第十六章　二次根式 16.1　二次根式（第1课时） 教学目标 1.了解二次根式的概念，理解被开方数必须是非负数. 2.利用二次根式（a≥0）有意义的条件，会求被开方数中字母的取值 范围. 3.能用二次根式表示实际问题中的数量和数量关系. 教学重难点 重点：二次根式的概念. 难点：利用“（a≥0）”求有关字母的取值范围. 教学过程 导入新课 问题：（1）已知x2 ＝ a，那么a是x的　　　　；x是a的　　　　， 记为　　　　，a一定是　　　　数. （2） 4的算术平方根为2，用式子表示为＝　　　　；正数a的算术平方根为　　　　，0的算术平方根为　　　　；式子≥0（a≥0）的意义是　　　　. 师生活动：学生代表独立回答，教师提示总结. 教师总结：根据在七年级下册数学中，我们学习的平方根和算术平方根的知识，上述问题的答案是：（1）平方，平方根，x＝±，非负；（2）2，，0，表示a的算术平方根，它有双重非负性.今天我们在此基础上继续探究二次根式的知识. 探究新知 教师：请思考下列问题，并观察写出的结果有什么特点： （1）面积为3的正方形的边长为　　　　，面积为S的正方形的边长为 　　　　. （2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为　　　　m. （3）一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t（单位：s）与开始落下时离地面的高度h（单位：m）满足关系式h＝5t2.如果用含有h的式子表示t，那么t为　　　　. 师生活动：学生思考，并完成上面问题. 师生共同归纳： 上面问题的结果分别是，，，，它们表示一些正数的算术平 方根. 回顾：一个正数有两个平方根；0的平方根为0；在实数范围内，负数没有平方根.因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是正数或0. 总结：一般地，我们把形如（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号. 师生活动：学生联系所学知识，独立思考解决问题；教师总结二次根式的概念，并强调二次根式有意义的条件. 教师： +1是不是二次根式？呢？教师对学生的回答给予一定的引导. 教师提出让学生小组合作讨论：二次根式表示什么意义？ 此算术平方根的被开方式是什么？被开方式必须满足什么条件的二次根式才有意义？其中字母a需要满足什么条件？为什么？ 师生活动：学生先独立思考，讨论后，由小组代表回答，并让其他的学生点评. 教师总结强调：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式大于或等于零. 新知应用 例1　下列各式是不是二次根式？ （1）；　（2）；　（3）；　（4）； （5）. 师生活动：（1）小题教师与学生一起分析解决.（2）小题学生尝试解决.（3）小题请学生认真思考后解答.（4）（5）两小题需要分情况讨论，教师引导，学生分组讨论，然后请学生代表回答. 解：（1）∵ m2≥0，∴ m2+1>0， ∴是二次根式. （2）∵ a2≥0，∴是二次根式. （3）∵ n2≥0，∴ -n2≤0， ∴ 当n＝0时，才是二次根式. （4）当a-2≥0，即a≥2时，是二次根式. 当a-2<0，即a<2时，不是二次根式. （5）当x-y≥0，即x≥y时，是二次根式. 当x-y<0，即x<y时，不是二次根式. 师生总结：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数（式）是正数或0. 例2　当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？ 师生活动：学生联系二次根式的定义，尝试解决问题. 教师板演： 解：由x-2≥0，得x≥2.当x≥2时，在实数范围内有意义. 思考：当x是怎样的实数时，在实数范围内有意义？呢？ 师生活动：学生独立思考，解决问题；教师统一答案. 因为x为任意实数时，x2都是非负数，即x2≥0，所以在实数范围内有意义的条件是x为任意实数；而，因为负数的奇次幂仍是负数，非负数的奇次幂仍是非负数，所以在实数范围内有意义的条件是x为非负数，即x≥0. 课堂练习（见导学案“当堂达标”） 参考答案 当堂达标 1.B　2.B　3.x>8　4.B　5.C　6.m≥9　7. 8.B　解析：由二次根式有意义的条件可知-（x-5）2 ≥0.因为（x-5）2为非负数，所以（x-5）2＝0，即x-5＝0，x＝5，故使式子有意义的未知数x有1个. 9. m　10.x≥-且x≠2 11.解：要使二次根式有意义，则解得x＝，故y＝-3，∴ 2xy＝2××（-3）＝-15. 课后提升 1.解：由题意，得a+4≥0，9-2a≥0，-a2≥0， 所以a＝0， 所以原式＝-+＝2-3＝-1. 2.解：由题意，得+（b-3）2＝0， 所以a-2＝0，且b-3＝0， 所以a＝2且b＝3. 又因为在△ABC中，|a-b|<c<a+b， 所以1<c<5. 课堂小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？说说看. 1.什么是二次根式？ 2.二次根式有意义的