22.2二次函数与一元二次方程 教学设计2023-2024学年人教版九年级上册数学

教学时间 课题 22.2二次函数与一元二次方程 课型 新授课 教 学 目 标 知识与能力 1、 复习巩固已知二次函数值，求自变量取值的方法。 2、 通过探索，使学生理解二次函数与一元二次方程的联系。 过程与方法 使学生能够运用二次函数及其图象、性质解决实际问题，提高学生数学应用的意识。 情感与态度价值观 进一步培养学生综合分析以及解决问题的能力，渗透数形结合（转化）的思想。 教学重点 理解二次函数与一元二次方程的关系，能够运用二次函数及其图象、性质去解决实际问题。 教学难点 进一步培养学生综合分析以及解决问题的能力，渗透数形结合（转化）的思想。 课 堂 教 学 程 序 设 计 设计意图 一、引言 在现实生活中，我们常常会遇到与二次函数及其图象有关的问题，如拱桥跨度、拱高计算等，利用二次函数的有关知识研究和解决这些问题，具有很现实的意义。本节课我们先来复习二次函数有关的知识，再尝试解决相关的问题。 （复习引入） 二次函数的一般式为：y=ax² + bx + c （a≠0）， 自变量， 是 的函数。当 y = 0 时，ax² + bx + c = 0，这是什么方程?一元二次方程与二次函数有什么关系?下面我们通过具体生活实例来探讨研究以下数学问题。 二、探索问题 问题1：以 40 m /s的速度将小球沿与地面成 30°角的方向击出时，球的飞行路线是一条抛物线，如果不考虑空气阻力，球的飞行高度 h (单位:m)与飞行时间 t (单位:s)之间具有关系：h=20t -5t²， 考虑下列问题: （1）球的飞行高度能否达到 15 m? 若能，需要多少时间? （2）球的飞行高度能否达到 20 m? 若能，需要多少时间? （3）球的飞行高度能否达到 20.5 m?为什么? （4）球从飞出到落地要用多少时间? 教学要点： 1．让学生讨论、交流，如何将文字语言转化为数学语言，得出问题(1)、(2)、(3)的解决方案。就是求函数h=20t -5t²对应函数值（高度）的自变量（时间）的取值，问题(4)就是求落地飞行的时间； 2．学生解答，教师巡视指导； 3．让一两位同学板演，教师讲评。 解：（1）当 h = 15 时，20 t – 5 t 2 = 15，t 2 － 4 t ＋3 = 0， t 1 = 1，t 2 = 3 ，当球飞行 1s 和 3s 时，它的高t 2度为 15m。 （2）当 h = 20 时，20 t – 5 t 2 = 20，t 2 － 4 t ＋4 = 0， t 1 = t 2 = 2 ，当球飞行 2s 时，它的高度为 20m。 （3）当 h = 20.5 时，20 t – 5 t 2 = 20.5，t 2 －4t ＋4.1= 0， 因为(－4)2－4×4.1 < 0 ，所以方程无实数根。球的飞行高度达不到 20.5 m。 （4） 当 h = 0 时，20 t – 5 t 2 = 0，t 2 － 4 t = 0， t 1 = 0，t 2 = 4，当球飞行 0s 和 4s 时，它的高度为 0m ，即 0s时，球从地面飞出，4s 时球落回地面。 问题2：一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示，现测得，当水面宽AB＝1.6m时，涵洞顶点与水面的距离为2.4m。这时，离开水面1.5m处，涵洞宽ED是多少?是否会超过1m? 教学要点 1． 教师分析：根据已知条件，要求ED的宽， 只要求出FD的长度。在如图(3)的直角坐标 系中，即只要求出D点的横坐标。因为点D 在涵洞所成的抛物线上，又由已知条件可得 到点D的纵坐标，所以利用抛物线的函数关 系式可以进一步算出点D的横坐标。 2．让学生完成解答，教师巡视指导。 3．教师分析存在的问题，书写解答过程。 解：以AB的垂直平分线为y轴，以过点O的y轴的垂线为x轴，建立直角坐标系。这时，涵洞的横截面所成抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，开口向下，所以可设它的函数关系式为：y=ax² (a＜0) (1) 因为AB与y轴相交于C点，所以CB＝＝0.8(m)，又OC＝2.4m，所以点B的坐标是(0.8，－2.4)。因为点B在抛物线上，将它的坐标代人(1)式，得 －2.4＝a×0.8² 所以：a＝－。因此，函数关系式是： y＝－x² 从上面发现，二次函数y=ax² + bx + c（a≠0）何时为一元二次方程? 一般地，当y取定值时，二次函数为一元二次方程。如：y=5时，则5=ax² + bx + c （a≠0）就是一个一元二次方程。 问题3：1、二次函数y = x2+x-2 , y= x2-6x+9 , y=x2–x+1的图象如图所示。 1、每个图象与x轴有几个交点? 2、一元二次方程?x2