第四章 数列 检测练习-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 检测练习 一、单选题 1．已知数列是等比数列，为其前项和，若，，则（    ） A．27 B．39 C．81 D．120 2．等比数列不具有单调性，且是和的等差中项，则数列的公比 A．－1 B．1 C．－2 D．－3 3．已知等比数列和等差数列，满足，则（   ） A． B．1 C．4 D．6 4．在等差数列中，，则（    ）． A．9 B．6 C．3 D．1 5．已知各项均为正数的等比数列中，，，则（    ） A．6 B．9 C．27 D．81 6．设等差数列的公差为d，若，则“”是“（）”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为1，则图3中曲线的长度为（    ）    A．2 B． C． D．3 8．在等比数列中，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（多选）“克拉茨猜想”又称“猜想”是德国数学家洛萨克拉茨在1950年世界数学家大会上公布的一个猜想：任给一个正整数n，如果n是偶数，就将它减半；如果n为奇数就将它乘3加1，不断重复这样的运算，经过有限步后，最终都能够得到1，得到1即终止运算，已知正整数m经过5次运算后得到1，则m的值为（    ） A．32 B．16 C．5 D．4 10．已知为等差数列的前项和，且满足，，若数列满足，，则（    ） A． B．的最小值为 C．为等差数列 D．和的前100项中的公共项的和为2000 11．对于数列，若存在正数M，使得对一切正整数n，都有，则称数列是有界的.若这样的正数M不存在，则称数列是无界的.记数列的前n项和为，下列结论正确的是（    ） A．若，则数列是无界的 B．若，则数列是有界的 C．若，则数列是有界的 D．若，则数列是有界的 12．如图，在正方体的顶点处有一只青蛙，假设青蛙会随机地沿一条棱跳到相邻的某个顶点，且跳向每个顶点的概率相同，记青蛙跳动次后仍在底面上的概率为，则下列结论正确的是（    ） A． B．青蛙跳动奇数次后只能位于点四个点中某一个点处 C．数列是等比数列 D．青蛙跳动4次后恰好回到点的概率为 三、填空题 13．等差数列的公差，记其前n项和为，若对于任意满足的T、K，恒有成立.则满足的解的个数是 . 14．如图，在中，D是AC边上一点，且，为直线AB上一点列，满足：，且，则数列的前n项和 ． 15．数列满足，若，则的值为 . 16．已知，若数列中最小项为第3项，则 ． 四、解答题 17．设条直线最多把平面分成部分，其求法如下：易知一条直线最多把平面分成部分，两条直线最多把平面分成部分，3条直线分平面，要使所得部分尽量多，则第三条直线必与前两条直线都相交，产生2个交点，这2个交点都在第3条直线上，并把第三条直线分成3段，这3段的每一段都在部分的某部分中，它把所在部分一分为二，故增加了3部分，即，依次类推得，累加化简得．根据上面的想法，设个平面最多把空间分成部分，且 (1)求出 (2)写出与之间的递推关系式 (3)求出数列的通项公式 18．设是等差数列，且． (1)求的通项公式； (2)求 19．已知数列的前n项之积为，且满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)若数列的前n项和为，求证． 20．若数列的前项和满足． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，记数列的前项和为，证明：对任意的正整数，都有. 21．“现值”与“终值”是利息计算中的两个基本概念，终值是现在的一笔钱按给定的利息率计算所得到的在未来某个时间点的价值。现值是未来的一笔钱按给定的利息率计算所得到的现在的价值。例如，在复利计息的情况下，设本金为A，每期利率为r，期数为n，到期末的本利和为S，则其中，S称为n期末的终值，A称为n期后终值S的现值，即n期后的S元现在的价值为．现有如下问题：小明想买一套房子有如下两个方案 方案一：一次性付全款50万元； 方案二：分期付款，每年初付款6万元，第十年年初付完； (1)已知一年期存款的年利率为4%，试讨论两种方案哪一种更好？ (2)若小明把房子租出去，第一年年初需交纳租金2万元，此后每年初涨租金1000元，假设存款的年利率为4%，预计第十年房租到期后小明所获得全部租金的终值．（精确到百元）．参考数据： ． 22．某公司本年度的研发投入估计为100万元，由于时代数据的日新月异，该公司也决定与时倶进．为将公司发展提升到一个新高度，该公司预计今后的研发投入每年都会比上一