专题4.4 数列求通项（6类必考点）-2023-2024学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.4 数列求通项 【考点1：观察法求数列的通项】 1 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 3 【考点3：累加法求通项】 4 【考点4：累乘法求通项】 5 【考点5：待定系数法求通项】 6 【考点6：倒数构造法求通项】 7 【考点1：观察法求数列的通项】 【知识点：观察法求数列的通项】 给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系． [方法技巧] 由数列的前几项求通项公式的思路方法 (1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控． (3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳． [提醒]　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．　　 1．（2023上·河北张家口·高三河北省尚义县第一中学校联考阶段练习）已知数列，则是这个数列的（    ） A．第21项 B．第22项 C．第23项 D．第24项 2．（2023上·河南·高二校联考阶段练习）数列1，，，…的通项公式可能是（    ） A． B． C． D． 3．（2023上·贵州贵阳·高二校考阶段练习）数列1，，，，…的一个通项公式为（      ） A． B． C． D． 4．（2023上·内蒙古通辽·高三校考阶段练习）数列，，，，的一个通项公式是an=（    ） A． B． C． D． 5．（2023上·河北邢台·高二校联考阶段练习）已知数列的前4项分别为，则该数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 6．（多选）（2023上·高二课时练习）已知数列的前4项分别为1，0，1，0，则下列各式可作为数列的通项公式的是（    ） A． B． C． D． E． 7．（2023下·高二课时练习）写出下列数列的一个通项公式． (1) (2) (3)0，，，，…； (4)1，11，111，1 111，…. 8．（2023上·高二课时练习）已知无穷数列，，，…，，…． (1)求这个数列的第10项和第31项． (2)是不是这个数列中的项？如果是，是第几项？ (3)证明：不是这个数列中的项． 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 【知识点：利用an与Sn的关系求通项】 数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． [方法技巧] 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　 1．（2023上·天津·高二天津市咸水沽第一中学校考阶段练习）若数列的前项和，则此数列的通项公式为 ． 2．（2023上·江苏泰州·高二校联考期中）已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为 ． 3．（多选）（2023上·福建漳州·高二福建省华安县第一中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（    ） A．是递增数列 B． C．当时取最大值 D．满足的最大的正整数为10 4．（多选）（2023上·河南南阳·高三统考期中）已知是数列的前项和，，则（    ） A．是等比数列 B． C． D． 5．（2023上·四川广安·高二广安二中校考阶段练习）已知数列前项和为． (1)试写出数列的前项； (2)求的通项公式． 【考点3：累加法求通项】 【知识点：累加法求通项】 形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 1．（2023上·山西·高三校联考阶段练习）在等比数列中，，则 . 2．（2023·上海普陀·统考一模）若数列满足，（，），则的最小值是 . 3．（2023上·河北沧州·高二泊头市第一中学校考阶段练习）已知数列满足，且，若，则正整数为 . 4．（2023上·河北保定·高二河北定兴第三中学校联考期中）已知数列的前n项和为，且，，