专题16.3 分式方程【十大题型】-2023-2024学年八年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题16.3 分式方程【十大题型】 【华东师大版】 【题型1 分式方程的定义】 1 【题型2 分式方程的一般方法】 2 【题型3 换元法解分式方程】 3 【题型4 裂项法解分式方程】 3 【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】 4 【题型6 由分式方程有增根求字母的值】 4 【题型7 由分式方程有整数解求字母的值】 4 【题型8 由分式方程解的取值范围求字母的范围】 5 【题型9 分式方程的规律问题】 5 【题型10 分式方程的新定义问题】 6 【知识点1 分式方程】 分母中含有未知数的方程叫分式方程. 【题型1 分式方程的定义】 【例1】（2023·山东聊城·八年级期末）下列方程是关于x的方程，其中是分式方程的是 （只填序号） ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨． 【变式1-1】（2023下·河南郑州·八年级校考期末）请写出一个未知数是的分式方程，并且当时没有意义 ． 【变式1-2】（2023·广西贵港·八年级期中）下列关于x的方程是分式方程的是(   ) A．; B．; C．; D． 【变式1-3】（2023上·八年级课时练习）有下列方程： ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨，其中是整式方程的是 ；是分式方程的是 ．（填序号） 【知识点1 解分式方程】 分式方程的解法思路：去分母（乘分母最小公倍数）将分式方程先转化为整式方程，再按照整式方程的技巧求解方程。 分式方程解方程的步骤： ①利用等式的性质去分母，将分式方程转换为整式方程 ②解整式方程 ③验根--检验整式方程解得的根是否符合分式方程 ④作答 【题型2 分式方程的一般方法】 【例2】（2023上·北京·八年级校考期末）解分式方程： ① ② 【变式2-1】（2023上·湖北恩施·八年级统考期末）解下列方程： (1)； (2)． 【变式2-2】（2023下·宁夏银川·八年级银川一中校考期中）阅读下列解题过程，回答所提出的问题： 题目：解分式方程： 解：方程两边同时乘以 得： 去括号得： 解得： 所以原分式方程的解是： (1)上述计算过程中，哪一步是错误的？请写出错误步骤的序号：　　； (2)错误的原因是　　； (3)订正错误． 【变式2-3】（2023上·河北秦皇岛·八年级统考期中）对于任意的实数a，b，规定新运算：． (1)计算：； (2)若，求m的值．(要求写出解方程过程) 【题型3 换元法解分式方程】 【例3】（2023下·陕西西安·八年级校考阶段练习）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为，方程两边同时乘y，得， 解得．经检验：都是方程的解． 当时，，解得；当时，，解得． 经检验：和都是原分式方程的解， 所以原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 用换元法解：． 【变式3-1】（2023下·上海杨浦·八年级上海同济大学附属存志学校校考期中）解分式方程，用换元整理后得到的关于y的整式方程是 ． 【答案】y2-y-2=0 【变式3-2】（2023上·河南三门峡·八年级统考期末）换元法解方程：－－1＝0. 【变式3-3】（2023下·山西晋城·八年级统考阶段练习）换元法解方程：． 【题型4 裂项法解分式方程】 【例4】（2023上·湖南娄底·八年级统考期中）观察下列各式： ； ；…． 请利用你所得的结论，解答下列问题： (1)计算：． (2)解方程． (3)若，求n的值． 【变式4-1】解方程： 【变式4-2】（2023上·广西桂林·八年级校联考期中）解方程： 【变式4-3】（2023上·广东珠海·八年级统考期末）解方程：． 【题型5 由分式方程有解或无解求字母的值】 【例5】（2023下·四川遂宁·八年级统考期末）若关于的方程无解，则的值为（  ） A．3 B．6或10 C．10 D．6 【变式5-1】（2023上·湖南岳阳·八年级统考期中）关于x的分式方程有解，则满足 ． 【变式5-2】（2023上·湖南邵阳·八年级统考期末）已知分式方程■有解，其中“■”表示一个数． (1)若“■”表示的数为4，求分式方程的解； (2)小马虎回忆说：由于抄题时等号右边的数值抄错，导致找不到原题目，但可以肯定的是“■”是或0，试确定“■”表示的数． 【变式5-3】（2023下·浙江绍兴·八年级统考期末）对于实数x，y定义一种新运算“”：，例如：，则分式方程无解时，m的值是 ． 【题型6 由分式方程有增根求字母的值】 【例6】（2023下·浙江嘉兴·八年级统考期末）已知关于的方程，其中，均为整数且． (1)若方程有增根，则，满足怎样的数量关系？ (2)若是方程的解，求的值． 【变式6-1】（