第五章第五节两角和差公式导学案2023-2024学年高一数学上学期人教A版2019必修第一册

5.5.2　两角和与差的正弦、余弦、正切公式 学生姓名：___________ 【学习目标0】 　　1.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 　　2.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并能灵活运用这些公式进行简单的恒等变换. 【复习知识1】◆两角差的余弦公式：cos(αβ)=　　　　　　　　　　　　　.(记为C(α-β))   利用β代换β的思想：很容易得出两角和余弦公式： ◆两角差的余弦公式：cos(α+β)=　　　　　　　　　　　　　　　.(记为C(α+β))   再问：①cos 15°=　　　　.  ②. cos 75°=　　　　.  ③sin 15°=　　　　.   ④sin75°=　　　　. 同学们很容易想到，研究正弦两角和差公式，只需要把_______用_______代换， 然后就可以把余弦的两角和公式转化为正弦的两角和或两角差公式。 【公式理解2】 ◆两角和的正弦公式：sin(α+β)=　　　　　　　　　　　　　　.( 记为S(α+β))   ◆两角差的正弦公式：sin(αβ)=　　　　　　　　　　　　　　.( 记为S(α-β))   问：同学们想要得到正切的两角和差公式，怎么办？用到什么数学思想？ ◆两角和的正切公式：tan(α+β)=　　　　　　　　　　　　　　.( 记为T(α+β))   ◆两角差的正切公式：tan(αβ)=　　　　　　　　　　　　　　.( 记为T(α-β))   问：以上公式的记忆和应用，要多理解正向应用和反向应用，如两角和与差公式的反向应用有： sin(54°-x)cos(36°+x)+cos(54°-x)·sin(36°+x)=_________; cos 17°cos 43°+sin 17°sin 223°=_________; tan α+tan β=__________________,; tan αtan β=__________________ 【概念理解3】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. (　 ) (2)存在α,β∈R,使sin(αβ)=sin αsin β成立. (　 ) (3)对于任意α,β∈R,sin(α+β)=sin α+sin β都不成立. (　 ) (4)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立. (　 ) (5)tan 12°+tan 33°+tan 12°tan 33°=1. (　 ) 【举例讲解4】◆给角求值 例1 (1) cos 105°= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B.C. D. (2) sin 15°+sin 75°=　　　　.  （3）的值为 (　 ) A. B. C. D. 【举例讲解5】◆给值求值与给式求值 例2 （1）已知sin =, cos=, α∈, β∈,求cos2α, sin2的值. （2） 已知tan=, tan=,则tan(αβ)的值为　　　　.  　　　　　 　　　　　 　　　　　 变式1 已知cos θ=,θ∈(π,2π),求sin以及tan的值. 变式2已知角α的终边在直线y=x上,求costan 【举例讲解6】◆给值求角 例3已知sin α=,cos β=,且α,β∈,求α+β的值. 变式 已知0<β<α<,sin α=,cos(αβ)=,求β的值. 【举例讲解7】◆综合应用 例4已知α∈(0,π),β∈(0,π),sin(αβ)=, =5,则α+β= 例5、八角星纹是一种有八个均等的向外突出的锐角的几何纹样(如图①),它具有组合性强、结构稳定等特点.有的八角星纹中间镂空出一个正方形,有的由八个菱形组成,内部呈现米字形线条.八角星纹目前仍流行在中国南方的挑花和织锦中.在如图②所示的八角星纹中,各个最小的三角形均为全等的等腰直角三角形,中间的四边形是边长为2的正方形,在图②的基础上连接线段,得到角α,β,如图③所示, 则α+β= 1 ② ③ 【课堂小结8】通过本节课的学习，你能熟记两角和差公式吗？高中在运用两角和差公式时，要注意角的变换，而不是只看式子中的和差，这一点你注意到了吗？请小结本节课你学到了什么数学思