5.5.1 两角差余弦导学案2023-2024学年高一年级上学期高中数学人教A版2019必修第一册

5.5.1　两角差的余弦公式 姓名：_______________ 【学习目标0】 　　1.了解两角差的余弦公式的推导过程. 　　2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征,并能利用该公式进行求值、计算. 【知识复习1】三角函数的定义 1.如图所示,设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y). (1)把点P的　　　　叫作α的正弦值,记作sin α,即　　　　;   (2)把点P的　　　　叫作α的余弦值,记作cos α,即　　　　;   2.计算(1)cos cos +sinsin =________; (2)cos cos +sinsin =_______; (3)cos cos +sinsin =_______; (4)cos cos +sinsin =_______. 3.猜想公式：cos αcos β+sin αsin β=________________________ 【概念学习2】两角差的余弦公式cos(αβ)=　　　　　　　　　　.(记为C(α-β))  ，如何证明： 引例：在平面直角坐标系xOy中,O是坐标原点,点P1(cos α,sin α)，P2， P3， P4，P5则下列说法正确的是 (　 ) A. 线段P1P2的长为1 B. 线段P2 P3的长为1 C. 线段 P1P2=P4P5 D.若点P1，P2关于y轴对称,则α=+kπ(k∈Z) 小结：两角差的余弦公式的结构特点: (1)同名三角函数相乘,即两角余弦乘余弦,正弦乘正弦;(2)把所得的积相加. 【概念巩固3】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)对于任意α,β∈R,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β都成立. (　 ) (2)对于任意α,β∈R,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立. (　 ) (3)cos 30°cos 120°+sin 30°sin 120°=0. (　 ) 【举例讲解4】◆给角求值 例1 (1)计算:①cos 15°=　　　　.  ②. cos 75°=　　　　.  (2)求下列各式的值:①cos 79°cos 34°+sin 79°sin 34°=　　　　; ② cos 15°+sin 15°; ③cos(x27°)cos(x+18°)+sin(x27°)·sin(x+18°); ④. 【举例讲解5】◆给值求值 例2 (1)已知cos α=,α是第四象限角,sin β=,β是第二象限角,则cos(αβ)=　　　　.  (2)已知sin(π+θ)=,θ是第二象限角,sin=,φ是第三象限角,则cos(θφ)=　　　　　　.  (3)已知cos α=,α∈,则cos=　　　　.  变式 若0<α<β<π,且cos β=, sin(α+β)=,求cos α的值. 【举例讲解6】◆给值求角 例3 已知cos α=,cos(α+β)=,且α,β∈,求β的大小. 变式 已知sin α=, cos(α+β)=,其中α∈,β∈(0,π),求角β的大小. 【举例讲解7】◆综合应用 例4（1）在△ABC中,若sin Asin B>cos Acos B,则△ABC一定为 (　 ) A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形 （2）若cos cos sin sin =0,则α的值可能是 (　 ) A. B. C. D. 变式：若cos αcos β=, sin αsin β=,则cos(αβ)的值为　　　　.  【学习总结8】 一、“给值求值”问题的解题策略: (1)已知某些角的三角函数值,求另外一些角的三角函数值时,要注意观察已知角与所求表达式中角的关系,然后进行拆角与凑角. (2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角. ①α=(α-β)+β; ②α=+; ③2α=(α+β)+(α-β); ④2β=(α+β)-(α-β). 二、“给值求角”问题,比“给值求值”问题多一步，就是选择一个恰当三角函数值来进行求解: (1)求角的某一三角函数值;(2)确定角所在的范围(找区间);(3)确定角的大小。 【