专题04 数列的概念与等差数列-2023-2024学年高二数学期末复习重难培优与单元检测（人教A版2019）

专题04 数列的概念与等差数列 目录 【知识梳理】 2 【重点保分】 5 【重点保分一】累加法求数列通项 5 【重点保分二】累乘法求数列通项 7 【重点保分三】由递推关系求数列通项 7 【重点保分四】确定数列中的最大（小）项 8 【重点保分五】等差数列概念 9 【重点保分六】等差数列性质与等差中项 10 【难点增分】 11 【难点增分一】与的关系 11 【难点增分二】等差数列前项和 12 【难点增分三】等差数列函数特性 14 【培优满分】 15 【培优满分一】数列的单调性求参数 15 【培优满分二】等差数列的绝对值求和 16 【培优满分三】等差数列前项和性质综合应用 17 【技巧总结】 18 【单元检测】 22 知识梳理 1.数列的概念及一般形式 (1)数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列. (2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项. 数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项. (3)一般形式：数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}. 2.数列的分类 类别 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 按项的 变化 趋势 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 摆动数列 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 3.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式. 4.数列与函数的关系 定义域 正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n}) 解析式 数列的通项公式 值域 自变量从1开始，按照从小到大的顺序依次取值时，对应的一列函数值构成 表示方法 (1)通项公式(解析法)；(2)列表法；(3)图象法 5.数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式. 6.数列的前n项和 (1)数列{an}的前n项和：把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2)数列的前n项和公式：如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的前n项和公式. (3)数列{an}的通项an与前n项和Sn之间的关系为an＝ 7.等差数列的概念 条件 从第2项起 每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 结论 这个数列就叫做等差数列 有关概念 这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示 8.等差中项 (1)条件：如果a，A，b成等差数列. (2)结论：那么A叫做a与b的等差中项. (3)满足的关系式是a＋b＝2A. 9.等差数列的通项公式 首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式是an＝a1＋(n－1)d. 10.从函数角度认识等差数列 若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d). (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上； (2)这些点的横坐标每增加1，纵坐标增加d. 11.等差数列的判定与证明 证明等差数列的方法 (1)定义法：an－an－1＝d(n≥2). (2)等差中项法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2). (3)通项公式法：an＝a1＋(n－1)d. 12.由等差数列构造新等差数列 (1)若{an}，{bn}分别是公差为d，d′的等差数列，则有 数列 结论 {c＋an} 公差为d的等差数列(c为任一常数) {c·an} 公差为cd的等差数列(c为任一常数) {an＋an＋k} 公差为2d的等差数列(k为常数，k∈N*) {pan＋qbn} 公差为pd＋qd′的等差数列(p，q为常数) (2)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列. 13.等差数列通项公式的变形及推广 (1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)， (2)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)， (3)d＝(m，n∈N*，且m≠n). 14.等差数列两项或多项之间的性质 {an}是公差为d的等差数列，若正整数m，n，p，q满足m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq. ①特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am＋an＝2ak. ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两