2.2基本不等式练习-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

2.2基本不等式 练习 一、单选题 1．一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一顾客到店购买黄金，售货员先将砝码放在天平左盘中，取出黄金放在右盘中使天平平衡；再将砝码放在天平右盘中，再取出黄金放在左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．你认为顾客购得的黄金（　　） A．小于 B．等于 C．大于 D．与左右臂的长度有关 2．若，且，则下列不等式成立的是（   ） A． B． C． D． 3．已知，且，则（    ） A．有最小值8 B．有最小值 C．有最大值8 D．有最大值 4．下列说法不正确的是（ ） A．（）的最小值是 B．的最小值是 C．的最小值是 D．若，则的最大值是 5．函数 的最小值是（    ） A． B．3 C．6 D．12 6．下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C． D． 7．已知长为，宽为的长方形，如果该长方形的面积与边长为的正方形面积相等；该长方形周长与边长为的正方形周长相等；该长方形的对角线与边长为的正方形对角线相等；该长方形的面积和周长的比与边长为的正方形面积和周长的比相等，那么、、、大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．下列命题中正确的是（    ） A．若，且，则 B．若，则 C．若，则 D．对任意，均成立. 二、多选题 9．下列说法正确的有（    ） A．若，则 B．因为，所以 C．（且） D．若正数x，y满足，则的最小值为3 10．已知，若，则（    ） A．的最大值为 B．的最小值为1 C．的最小值为8 D．的最小值为 11．下列说法正确的有（    ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若正数x、y满足，则的最小值为3 D．设x、y为实数，若，则的最大值为 12．设，为正数，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题 13．已知，且，则当取得最小值时， ． 14．已知，，且满足，则的最小值为 . 15．已知，则的最大值为 ． 16．两个正实数满足，若不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 四、解答题 17．已知x，y都是正数，且． (1)求的最小值； (2)已知不等式恒成立，求实数的取值范围． 18．已知，且 (1)求的最小值； (2)若恒成立，求的最大值. 19．已知正数满足. (1)若，求的最小值； (2)证明：. 20．如图所示，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其它各面用钢筋网围成．    (1)现有可围长网的材料，每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？ (2)若使每间虎笼面积为，则每间虎笼的长、宽各设计为多少时，可使围成四间虎笼的钢筋网总长最小？ 21．证明下列不等式 (1)已知，，，且，求证：. (2)已知，，，求证： . 22．如图，高新区某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为400m2的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为8400元/m2；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为420元/m2；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为160元/m2.设总造价为y（单位：元），AD长为x（单位：m）. (1)用x表示AM的长度，并求x的取值范围； (2)当x为何值时，y最小？并求出这个最小值. 参考答案： 1．C 【分析】利用杠杆原理求得顾客购得的黄金质量的表达式，依据均值定理即可得到顾客购得的黄金质量的取值范围，进而得到选项. 【详解】设天平左、右两边的臂长分别为x，y， 设售货员第一次称得黄金的质量为a克，第二次称得黄金的质量为b克， 则，解之得， 则顾客购得的黄金为（克）， （当且仅当时等号成立）， 由题意知，，则克. 故选：C 2．B 【分析】选项A，由重要不等式，三个同向不等式相加可得；选项B，由可得；选项CD，特值法排除. 【详解】选项A，∵，，， ∴， ∴， ∴．当且仅当时取等号，故A错误； 选项B，由， 则，故B正确； 选项C，当时，， 但，不满足，故C错误； 选项D，当时，， 但，不满足，故D错误. 故选：B. 3．A 【分析】根据基本不等式可得，即可由不等式的性质求解. 【详解】由可得，所以， 由于，且，则，故，当且仅当时取等号， 故，因此有最小值8， 故选：A 4．B 【分析】由二次根式的性质及基本不等式成立的条件逐项判断即可得解. 【详解】对于A，当时，，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 但，所以等号不成立，所以，故B错误； 对于C，，当时，等号成立，故C正确； 对于D，， 当且仅当时，等号成立，故D正确. 故选：B. 5．A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为 所以 ， (当